Чему равен угол между двумя секущими

Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов

Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.

1) Терема о вписанном угле в окружность.

%D0%92%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9 %D0%B2 %D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C %D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BBТеорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть .

2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.

2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.
%D0%A1%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5 %D0%B8%D0%B7 %D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B %D0%BE %D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC %D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B5
Теорема:
если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна

2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр.
%D0%92%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B5 %D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5 %D0%B8%D0%B7 %D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B %D0%BE %D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC %D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B5.%D0%92%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9 %D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB %D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F %D0%BD%D0%B0 %D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80
Теорема:
вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.

AC-диаметр

3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.
%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE %D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 %D0%BA%D0%B0%D1%81%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85
Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.

Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.

4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE %D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 %D1%85%D0%BE%D1%80%D0%B4 %D0%B2%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B5%D0%B5 %D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть

= .

Теорема 2:
угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть

5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих.
C%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE %D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 %D1%85%D0%BE%D1%80%D0%B4 %D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B5 %D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть

= .

Теорема 2:
угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика.

6) Свойства квадрата отрезка касательной
%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE %D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B0 %D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%B0 %D0%BA%D0%B0%D1%81%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9
Теорема 1:
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть



Теорема 2:
угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

7) Угол между касательной и секущей
%D0%A3%D0%B3%D0%BE%D0%BB %D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83 %D0%BA%D0%B0%D1%81%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9 %D0%B8 %D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%B9
Теорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).

.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Уважаемый коллега, ваш материал на сайте является для меня хорошим методическим подспорьем. Спасибо.

Александр Николаевич, спасибо за методики, я восхищена Вашим трудолюбием и профессионализмом.

Уважаемый Александр Николаевич! Полезность вашего материала безгранична! Огромнейшее спасибо за справочные материалы, их оформление. Я еще не со всеми ознакомилась. Спасибо за помощь репетиторам по математике, школьным преподавателям и ученикам! Вы Учитель с большой буквы!

Читайте также:  Что за таблетки йодомарин

Спасибо за хороший материал, готовимся к олимпиаде по математике.

Александр Николаевич, большое спасибо за материал! У меня завтра экзамен, и ваш труд поможет сдать мне его на хорошую оценку. Так, как я поняла все по ваши справочникам, мне не объяснит ни один учитель — репетитор. Спасибо вам большое!

Источник

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

ca6

ca7

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

ca8

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

ca9

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

ca10

ca11

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

ca12

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ca13

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура Рисунок Теорема
Вписанный угол ca8

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами ca16 ca1
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга ca17 ca2
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания ca20 ca3
Угол, образованный касательной и секущей ca18 ca2
Угол, образованный двумя касательными к окружности ca19 ca4

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

ca17

ca17w300

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

ca18

ca18w300

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ca19

ca19w300

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

ca21

ca5

ca5w400

ca5w300

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

ca22

В этом случае справедливы равенства

ca6

ca6w400

ca6w300

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

ca23

В этом случае справедливы равенства

ca7

ca7w400

ca7w300

что и завершает доказательство теоремы 1.

ca24

ca8

ca8w300

что и требовалось доказать.

ca25

ca25w300

ca9

ca9w300

что и требовалось доказать.

ca26

ca26w300

ca10

ca10w300

что и требовалось доказать

ca27

ca27w300

ca11

ca11w400

что и требовалось доказать.

ca28

ca28w300

Источник

Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности

520

Пусть – угол между секущими МВ и МD. Докажем, что

Угол DAB – вписанный. Его величина равна половине угловой величины дуги ВD.

Угол АDС – вписанный. Его величина равна половине угловой величины дуги АС.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

01dbf869

disci

01dbf869

prepod

menu mobile

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

Источник

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

T B 6 3 1

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

T B 6 3 2

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

T B 6 3 3

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :

T B 6 3 4

Следствие

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

T B 6 3 5

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over+\buildrel\smile\over\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

T B 6 3 6

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

T B 6 3 7

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

T B 6 3 8

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

T B 6 3 9

Доказательство

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

T B 6 3 10

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

T B 6 3 11

Следствие

Источник

Adblock
detector
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
ca16
Формула: ca1