Чему равны углы трапеции

Углы трапеции

Какими могут быть углы трапеции?

0 f0d4e 8226a7f6 orig

Как и все другие четырехугольники и многоугольники, которые изучаются в школьном курсе, трапеция — выпуклый четырехугольник. Поэтому сумма углов трапеции равна 360º (речь идет о внутренних углах).

То есть для трапеции ABCD ∠A+∠B+∠C+∠D=360º.

Поскольку основания трапеции лежат на параллельных прямых, сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.

Для трапеции ABCD (рисунок 1)

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),

∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).

Следовательно, если один из углов, прилежащих к одной боковой стороне, острый, то другой — тупой. Если один из этих углов прямой, другой — тоже прямой.

Суммы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:

Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как

Нет, поскольку 7k+3k≠5k+2k и 7K+2k≠3k+5k.

5k+4k=6k+3k, следовательно, углы трапеции могут быть пропорциональны этим числам.

На рисунке 1 углы прилежащие к основанию AD, оба острые, углы, прилежащие к основанию BC, оба тупые. В паре противолежащих углов ∠A и ∠С, ∠B и ∠D один — острый, другой — тупой.

Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла обо тупые или оба острые?

0 f0d50 25bc82a0 orig

Да, такая трапеция существует.

Например, трапеция, изображенная на рисунке 2.

Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла оба прямые? Противоположные углы равны?

Нет, такой трапеции не существует (противоположные углы равны у параллелограмма).

Источник

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Содержание:

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

86572

На рисунке 66 изображена трапеция 86578

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как 86603то 86606(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично 86607

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 86638— высота трапеции 86640

86662

Свойства равнобокой трапеции

Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.

1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

1) Пусть в трапеции 86683Проведем высоты трапеции 86689и 86691из вершин ее тупых углов 86694и 86707(рис. 70). Получили прямоугольник 86700Поэтому 86704

86713

2) 86725(по катету и гипотенузе). Поэтому 86727 rg9ggh3

3) Также 86731Но 86735поэтому 86740и 86745Следовательно, 86747

2. Диагонали равнобокой трапеции равны.

88365

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 71. 88370(как углы при основании равнобокой трапеции), 88373— общая сторона треугольников 88376и 88378Поэтому 88375(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 88381

Пример:

88387— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции 88390 v0G1fAsс основаниями 88391и 88401(рис. 71). Докажите, что 88404

Доказательство:

88407(доказано выше). Поэтому 88409По признаку равнобедренного треугольника 88412— равнобедренный. Поэтому 88413Поскольку 88416и 88418то 88421(так как 88423).

Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.

Доказательство:

1) Пусть в 88426углы при большем основании 88428равны (рис. 70), то есть 88430Проведем высоты 88431и 88432они равны.

2) Тогда 88433(по катету и противолежащему углу). Следовательно, 88437Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.

Читайте также:  Что значит вегетативное размножение

В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.

Свойство средней линии трапеции

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Рассмотрим свойство средней линии трапеции.

Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть 89838— данная трапеция, 89844— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что 89847 aFIqQpj 89848и 89852

89860

1) Проведем луч 89866до его пересечения с лучом 89869Пусть 89870— точка их пересечения. Тогда 89873(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 89886и 89879и секущей 89880(как вертикальные), 89889(по условию). Следовательно, 89891(по стороне и двум прилежащим углам), откуда 89893 89897(как соответственные стороны равных треугольников).

2) Поскольку 89901то 89903— средняя линия треугольника 89904Тогда, по свойству средней линии треугольника, 89906а значит, 89907Но так как 89909то 89910

3) Кроме того, 89911

Пример:

Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.

Доказательство:

Пусть 89914— средняя линия трапеции 89916— точка пересечения 89919и 89920— точка пересечения 89923и 89926(рис. 110). Пусть 89928Докажем, что 89931

89934

1) Так как 89936и 89940то, по теореме Фалеса, 89941-середина 89942— середина 89943Поэтому 89946— средняя линия треугольника 8994889951— средняя линия треугольника 89953

Тогда 89956

2) 89959— средняя линия трапеции, поэтому 89964

3) 89966

Пример:

Решение:

Пусть 89978— данная трапеция, 89980— ее средняя линия, 89985(рис. 111).

89989

1) Обозначим 89987Тогда

89993

2) 89999(по условию). 90002(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 90008и 90010и секущей 90012Поэтому 90016Следовательно, 90019— равнобедренный, у которого 90024(по признаку равнобедренного треугольника). Но 90026(по условию), значит, 90028

3) Учитывая, что 90034получим уравнение: 90042откуда 90043

4) Тогда 90046

То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).

О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.

tablitsa mendeleevae%60konomikazolotoserebroUSDAUDUSDCHFUSDGBPUSDCADUSDJPYBrent i WTIzakazat statyu 1razmestit statyu 1

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

trap 1

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Читайте также:  Что есть при эрозивном гастрите

trap 2

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

trap 3

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

trap 4

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

trap 5

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.

trap 6

Высота трапеции (h) определяется формулой:

Formula 1

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

trap 5

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

trap 7

trap 8

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

trap 9

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

trap 10Рис. 10. Трапеция

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

trap 11

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

trap 12

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

trap 13

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

trap 14

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

trap 15

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

trap 15

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

trap 16

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

trap 17

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

Formula 2

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S1 и S2 – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

trap 5

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

Читайте также:  Чем смазывать выпечку чтобы блестела

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

Формулы трапеции:

Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β углы при нижнем основании трапеции, d1 и d2 – диагонали трапеции, m средняя линия трапеции, h высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S площадь трапеции, P периметр трапеции.

Формулы для определения сторон трапеции:

Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

Через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a – c· cos α – d· cos β

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

CHerez vyisotu i uglyi pri nizhnem osnovanii

Формулы для определения средней линии трапеции:

Через длины оснований трапеции:

CHerez dlinyi osnovaniy

Через площадь и высоту трапеции:

CHerez ploshhad i vyisotu

Формулы для определения высоты трапеции:

Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

Через диагонали трапеции и углы между ними:

cherez diagonali i uglyi mezhdu nimi

Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:

cherez diagonali uglyi mezhdu nimi i srednyuyu liniyu

Через площадь и длины оснований трапеции:

cherez ploshhad i dlinyi osnovaniy

Через площадь и длину средней линии трапеции:

cherez ploshhad i dlinu sredney linii

Формула для определения периметра трапеции:

Формулы для определения площади трапеции:

Через основания и высоту трапеции:

pl cherez osnovaniya i vyisotu

Через среднюю линию и высоту трапеции:

Через диагонали трапеции и угол между ними:

pl cherez diagonali i ugol mezhdu nimi

Через все стороны трапеции:

pl cherez chetyire storonyi

С помощью формулы Герона для трапеции:

formula Gerona dlya trapetsii

Как называется объемная трапеция?

Если трапецию изобразить в объеме, то такая фигура будет напоминать усеченную пирамиду.

В правильной усеченной пирамиде боковые грани являются равнобокими трапециями.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

tablitsa mendeleevae%60konomikazolotoserebroUSDAUDUSDCHFUSDGBPUSDCADUSDJPYBrent i WTIzakazat statyu 1razmestit statyu 1

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Adblock
detector