Что значит вектор имеет координаты

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Координатные векторы

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Разложение вектора

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

risunok FeabU6u

Источник

Знакомимся с вектором

Основы линейной алгебры для тех, кого это миновало в универе.

Вы наверняка слышали много историй о программистах, которые учились в технических вузах, изучали высшую математику и теперь пользуются этими знаниями в программировании. И если кого-то это не коснулось, может быть ощущение, что он пропустил в жизни что-то важное.

Будем это исправлять. Попробуем разобрать некоторые базовые понятия из математики за пределами школьной программы. И заодно покажем, как оно связано с программированием и для каких задач полезно.

⚠️ Математики, помогайте. Мы тут многое упростили, поэтому будем рады увидеть ваши уточнения и замечания в комментариях.

Линейная алгебра

Есть математика: она изучает абстрактные объекты и их взаимосвязи. Благодаря математике мы знаем, что если сложить два объекта с ещё двумя такими же объектами, то получится четыре объекта. И неважно, что это были за объекты: яблоки, козы или ракеты. Математика берёт наш вещественный мир и изучает его более абстрактные свойства.

Внутри математики есть алгебра: если совсем примитивно, то в алгебре мы вместо чисел начинаем подставлять буквы и изучать ещё более абстрактные свойства объектов.

Внутри алгебры есть линейная алгебра — она изучает векторы, векторные пространства и другие абстрактные понятия, которые в целом относятся к некой упорядоченной информации. Например, координаты ракеты в космосе, биржевые котировки, расположение пикселей в изображении — всё это примеры упорядоченной информации, которую можно описывать векторами. И вот их изучает линейная алгебра.

В программировании линейная алгебра нужна в дата-сайенс, где из упорядоченной информации создаются алгоритмы машинного обучения.

Если представить линейную алгебру в виде дома, то вектор — это кирпич, из которого всё состоит. Сегодня разберёмся, что такое вектор и как его понимать.

Что такое вектор

Вы наверняка помните вектор из школьной программы — это такая стрелочка. Она направлена в пространство и измеряется двумя параметрами: длиной и направлением. Пока длина и направление не меняются, вектор может перемещаться в пространстве.

image1 6Физическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве

У аналитиков вектор представляется в виде упорядоченного списка чисел: это может быть любая информация, которую можно измерить и последовательно записать. Для примера возьмём рынок недвижимости, который нужно проанализировать по площади и цене домов — получаем вектор, где первая цифра отвечает за площадь, а вторая — за цену. Аналогично можно сортировать любые данные.

image4 4Аналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа

Математики обобщают оба подхода и считают вектор одновременно стрелкой и числом — это связанные понятия, перетекающие друг в друга в зависимости от задачи. В одних случаях удобней считать, а в других — показать всё графически. В обоих случаях перед нами вектор.

image8Математическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график

В дата-сайенс используется математическое представление вектора — программист может обработать данные и визуализировать результат. В отличие от физического представления, стрелки векторов в математике привязаны к системе координат Х и У — они не блуждают в пространстве, а исходят из нулевой точки.

image3 4Векторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат

👉 Получается, вектор – это такой способ записывать, хранить и обрабатывать не одно число, а какое-то организованное множество чисел. Благодаря векторам мы можем представить это множество как единый объект и изучать его взаимодействие с другими объектами.

Например, можно взять много векторов с ценами на недвижимость, как-то их проанализировать, усреднить и обучить на них алгоритм. Без векторов это были бы просто «рассыпанные» данные, а с векторами — порядок.

Как записывать

Вектор можно записать в строку или в столбец. Для строчной записи вектор обозначают одной буквой, ставят над ней черту, открывают круглые скобки и через запятую записывают координаты вектора. Для записи в столбец координаты вектора нужно взять в круглые или квадратные скобки — допустим любой вариант.

Строгий порядок записи делает так, что каждый набор чисел создаёт только один вектор, а каждый вектор ассоциируется только с одним набором чисел. Это значит, что если у нас есть координаты вектора, то мы их не сможем перепутать.

image2 5Способы записи вектора

Скаляр

Помимо понятия вектора есть понятие скаляра. Скаляр — это просто одно число. Можно сказать, что скаляр — это вектор, который состоит из одной координаты.

Помните физику? Есть скалярные величины и есть векторные. Скалярные как бы описывают просто состояние, например, температуру. Векторные величины ещё и описывают направление.

Как изображать

Вектор из одного числа (скаляр) отображается в виде точки на числовой прямой.

image5 2Графическое представление скаляра. Записывается в круглых скобках

Вектор из двух чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х и Y. Числа задают координаты вектора в пространстве — это такая инструкция, по которой нужно перемещаться от хвоста к стрелке вектора. Первое число показывает расстояние, которое нужно пройти вдоль оси Х; второе — расстояние по оси Y. Положительные числа на оси Х обозначают движение вправо; отрицательные — влево. Положительные числа на оси Y — идём вверх; отрицательные — вниз.

Представим вектор с числами −5 и 4. Для поиска нужной точки нам необходимо пройти влево пять шагов по оси Х, а затем подняться на четыре этажа по оси Y.

image7Графическое представление числового вектора в двух измерениях

Вектор из трёх чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х, Y и Z. Ось Z проводится перпендикулярно осям Х и У — это трёхмерное измерение, где вектор с упорядоченным триплетом чисел: первые два числа указывают на движение по осям Х и У, третье — куда нужно двигаться вдоль оси Z. Каждый триплет создаёт уникальный вектор в пространстве, а у каждого вектора есть только один триплет.

Читайте также:  Что делать если чужой ребенок бьет моего ребенка

Если вектор состоит из четырёх и более чисел, то в теории он строится по похожему принципу: вы берёте координаты, строите N-мерное пространство и находите нужную точку. Это сложно представить и для обучения не понадобится.

image6 1Графическое представление числового вектора в трёх измерениях. Для примера мы взяли координаты −5, 2, 4

Помните, что все эти записи и изображения с точки зрения алгебры не имеют отношения к нашему реальному трёхмерному пространству. Вектор — это просто какое-то количество абстрактных чисел, собранных в строгом порядке. Вектору неважно, сколько там чисел и как их изображают люди. Мы же их изображаем просто для наглядности и удобства.

Например, в векторе спокойно может быть 99 координат. Для его изображения нам понадобилось бы 99 измерений, что очень проблематично на бумаге. Но с точки зрения вектора это не проблема: перемножать и складывать векторы из двух координат можно так же, как и векторы из 9999999 координат, принципы те же.

И зачем нам это всё

Вектор — это «кирпичик», из которого строится дата-сайенс и машинное обучение. Например:

Кроме того, векторы используются в компьютерной графике, работе со звуком, инженерном и просто любом вычислительном софте.

И давайте помнить, что вектор — это не какая-то сложная абстрактная штука, а просто сумка, в которой лежат числа в определённом порядке. То, что мы называем это вектором, — просто нюанс терминологии.

Что дальше

В следующий раз разберём операции с векторами. Пока мы готовим материал — рекомендуем почитать интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия ведёт ютуб-канал по дата-сайнс и работает сеньором дата-сайентистом в Росбанке.

Источник

Метод координат (ЕГЭ 2022)

Метод координат — это твоя «палочка-выручалочка»! Он позволит тебе свести многие задачи по геометрии к простой алгебре.

Метод в особенности хорош, когда ты неуверенно чувствуешь себя в построении пространственных фигур, сечений и т. д.

Конечная цель статьи – научить тебя пользоваться методом координат, чтобы решать задачи ЕГЭ повышенной сложности для трехмерных фигур.

Давай с ним разберемся!

Метод координат — коротко о главном

Вектор – направленный отрезок. \( \displaystyle A\) — начало вектора, \( \displaystyle B\)-конец вектора.
Вектор обозначается \( \displaystyle a\) или \( \displaystyle \overline\).

Абсолютная величина вектора – длина отрезка, изображающего вектор. Обозначается, как \( \displaystyle \left| a \right|\).

Координаты вектора \( \displaystyle a\):

Произведение векторов: \( \displaystyle \lambda \overline(<_<1>>,\text< ><_<2>>)\text< >=

Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними:

Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв).

Система координат

С чего было бы логично начать обсуждение метода координат? Наверное, с понятия системы координат. Вспомни, когда ты с нею впервые столкнулся.

Мне кажется, что в 7 классе, когда ты узнал про существование линейной функции \( y=ax+b\), например, \( y=2-3\).

Напомню, ты строил ее по точкам. Помнишь?

Ты выбирал произвольное число \( x\), подставлял ее в формулу \( y=2-3\) и вычислял таким образом \( y\).

Например, если \( x=0\), то \( y=2\cdot 0-3=-3\), если же \( x=1\), то \( y=2\cdot 1-3=-1\)и т. д.

Что же ты получал в итоге?

А получал ты точки с координатами: \( A\left( 0,-3 \right)\) и \( B\left( 1,-1 \right)\).

Далее ты рисовал «крестик» (систему координат \( X0Y\)), выбирал на ней масштаб (сколько клеточек у тебя будет единичным отрезком) и отмечал на ней полученные тобою точки, которые затем соединял прямой линией, полученная линия и есть график функции \( y=2-3\).

Тут есть несколько моментов, которые стоит объяснить тебе чуть подробнее:

Векторы

Теперь давай с тобой сделаем следующий шаг: отметим две точки \( \displaystyle A\left( <_<1>>,<_<1>> \right)\) \( \displaystyle B\left( <_<2>>,<_<2>> \right)\).

Соединим эти две точки отрезком. И поставим стрелочку так, как будто мы проводим отрезок из точки \( \displaystyle A\) к точке \( \displaystyle B\):

То есть мы сделаем наш отрезок направленным!

Вспомни, как еще называется направленный отрезок? Верно, он называется вектором!

Вектором называется направленный отрезок, имеющий начало и конец.

Таким образом, если мы соединим точку \( \displaystyle A\) c точкой \( \displaystyle B\), причем началом у нас будет точка A, а концом – точка B, то мы получим вектор \( \displaystyle \overrightarrow\).

Это построение ты тоже делал в 8 классе, помнишь?

Координаты вектора

Оказывается, векторы, как и точки, можно обозначать двумя цифрами: эти цифры называются координатами вектора.

Вопрос: как ты думаешь, достаточно ли нам знать координаты начала и конца вектора, чтобы найти его координаты?

Оказывается, что да! И делается это очень просто:

Координаты вектора = координаты точки конца – координаты точки начала.

Таким образом, так как в векторе \( \displaystyle \overrightarrow\) точка \( \displaystyle A\left( <_<1>>,<_<1>> \right)\) – начало, а \( \displaystyle B\left( <_<2>>,<_<2>> \right)\) – конец, то вектор \( \displaystyle \overrightarrow\) имеет следующие координаты:

Например, если \( \displaystyle A\left( 2,0 \right)\)\( \displaystyle B\left( 1,2 \right)\), то координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow\)

Теперь давай сделаем наоборот, найдем координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow\).

Что нам для этого нужно поменять? Да, нужно поменять местами начало и конец: теперь начало вектора будет в точке \( \displaystyle B\), а конец – в точке \( \displaystyle A\).

\( \displaystyle \overrightarrow\left( 2-1,\text< >\!\!

Посмотри внимательно, чем отличаются векторы \( \displaystyle \overrightarrow\) и \( \displaystyle \overrightarrow\)?

Единственное их отличие – это знаки в координатах. Они противоположны. Этот факт принято записывать вот так:

Иногда, если не оговаривается специально, какая точка является началом вектора, а какая – концом, то векторы обозначают не двумя заглавными буквами, а одной строчной, например: \( \displaystyle <\vec>\), \( \displaystyle <\vec

>\) и т. д.

Еще больше о векторах и проекциях (эту тему мы непременно затронем) ты можешь прочитать в статье по физике «Большая теория по векторам» 🙂

Теперь немного потренируйся сам и найди координаты следующих векторов:

Проверка:

А теперь реши задачку чуть посложнее:

Век­тор \( \displaystyle \overrightarrow\) с на­ча­лом в точке \( \displaystyle A\left( 2;

4 \right)\) имеет ко­ор­ди­на­ты \( \displaystyle \left( 6;

2 \right)\). Най­ди­те абс­цис­су точки \( \displaystyle B\).

Решение:

Все тоже довольно прозаично: пусть \( \displaystyle (x,y)\) – координаты точки \( \displaystyle B\). Тогда

Систему я составил по определению того, что такое координаты вектора. Тогда точка \( \displaystyle B\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 8,6 \right)\). Нас интересует абсцисса. Тогда

Ответ: \( \displaystyle 8\)

Действия с векторами

Что еще можно делать с векторами?

Да почти все то же самое, что и с обычными числами:

Что же происходит при выполнении этих действий с координатами векторов?

1. При сложении (вычитании) двух векторов, мы складываем (вычитаем) поэлементно их координаты.

2. При умножении (делении) вектора на число, все его координаты умножаются (делятся) на это число:

Сложение и вычитание векторов (визуализация)

Кстати, все эти операции имеют вполне наглядное геометрическое или визуальное представление.

Например, правило треугольника (или параллелограмма) для сложения и вычитания.

Сложение векторов по правилу треугольника:

Вычитание векторов по правилу треугольника:

Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Вектор растягивается или сжимается или меняет направление при умножении или делении на число:

Например:

Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра \( \vec+\vec\).

Вектор растягивается или сжимается или меняет направление при умножении или делении на число:

Давай вначале найдем координаты каждого из векторов.

Оба они имеют одинаковое начало – точку начала координат. Концы у них разные.

Тогда сумма координат полученного вектора равна \( 20\).

Ответ: \( 20\)

Теперь реши сам следующую задачу:

Найти сумму координат вектора \( 3\vec-2\vec\)

Ответ: \( 0\)

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Давай рассмотрим теперь следующую задачу: у нас есть две точки на координатной плоскости. Как найти расстояние между ними?

Обозначим расстояние между ними через \( d\). Давай сделаем для наглядности следующий чертеж:

А также из точки \( <

_<1>>\) провел линию, параллельную оси \( Ox\), а из точки \( <

_<2>>\) провел линию, параллельную оси \( Oy\).

Они пересеклись в точке \( R\), образовав при этом замечательную фигуру. Чем она замечательна?

Да мы с тобой почти что все знаем про прямоугольный треугольник. Ну уж теорему Пифагора – точно!

Искомый отрезок – это гипотенуза этого треугольника, а отрезки \( <

_<1>>R,

Чему равны координаты точки \( R\)?

Да, их несложно найти по картинке: \( R\left( <_<2>>,<_<1>> \right).

Так как отрезки \( <

_<1>>R,

<

_<2>>R\) параллельны осям \( Ox\) и \( Oy\) соответственно, то их длины легко найти: если обозначить длины отрезков \( <

_<1>>R,

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора. Длины катетов нам известны, гипотенузу мы найдем:

Таким образом, расстояние между двумя точками – это корень из суммы квадратов разностей из координат.

Или же – расстояние между двумя точками – это длина отрезка, их соединяющего.

Легко заметить, что расстояние между точками не зависит от направления.

Отсюда делаем три вывода:

Давай немного поупражняемся в вычислении расстояния между двумя точками:

Например, если \( A\left( 1,2 \right),

B\left( 3,4 \right)\), то расстояние между \( A\) и \( B\) равно

Или пойдем по-другому: найдем координаты вектора \( \overrightarrow\)

\( \overrightarrow\left( 3-1,4-2 \right)=\overrightarrow\left( 2,2 \right)\)

И найдем длину вектора:

Как видишь, одно и то же!

Теперь немного потренируйся сам:

Задание. Найти расстояние между указанными точками:

Вот еще пара задачек на ту же формулу, правда звучат они немного по-другому:

1. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра \( \vec-\vec\).

2. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра \( \overrightarrow\)

Я так думаю, ты с ними без труда справился? Проверяем:

1. А это на внимательность) Мы уже нашли координаты векторов \( \displaystyle <\vec>\) и \( \displaystyle <\vec>\) ранее: \( \displaystyle \vec\left( 2,6 \right),

2. Найдем координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow=\overrightarrow\left( 8-2,6-4 \right)=\overrightarrow\left( 6,2 \right)\)

Тогда квадрат его длины равен

Ничего сложного, правда? Обычная арифметика, не более того.

Следующие задачки нельзя однозначно классифицировать, они скорее на общую эрудицию и на умение рисовать простенькие картинки.

Задача 1. Най­ди­те синус угла на­кло­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \( \displaystyle O\left( 0;

0 \right)\),\( \displaystyle A\left( 6;

8 \right)\) с осью абсцисс.

Как мы будем поступать здесь?

Нужно найти синус угла между \( \displaystyle OA\) и осью \( \displaystyle Ox\).

А где мы умеем искать синус? Верно, в прямоугольном треугольнике.

Так что нам нужно сделать? Построить этот треугольник!

Поскольку координаты точки \( \displaystyle A-6\) и \( \displaystyle 8\), то отрезок \( \displaystyle OB\) равен \( \displaystyle 6\), а отрезок \( \displaystyle AB-8\).

Нам нужно найти синус угла \( \displaystyle \angle AOB\).

Напомню тебе, что синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, тогда

\( \displaystyle sin\angle AOB=\frac\)

Что нам осталось сделать?

Ты можешь сделать это двумя способами: по теореме Пифагора (катеты-то известны!) или по формуле расстояния между двумя точками (на самом деле одно и то же, что и первый способ!).

Я пойду вторым путем:

\( \displaystyle sin\angle AOB=\frac=\frac<8><10>=0.8\)

Ответ: \( \displaystyle 0.8\)

Следующая задача покажется тебе еще проще. Она – на координаты точки.

Задача 2. Из точки \( \displaystyle A\left( 6;8 \right)\) опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр на ось абс­цисс. Най­ди­те абс­цис­су ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Давай сделаем рисунок:

Основание перпендикуляра – это та точка, в которой он пересекает ось абсцисс (ось \( \displaystyle Ox\)) у меня это точка \( \displaystyle B\).

По рисунку видно, что \( \displaystyle B\) имеет координаты: \( \displaystyle B\left( 6,0 \right)\).

Нас интересует абсцисса – то есть «иксовая» составляющая. Она равна \( \displaystyle 6\).

Ответ: \( \displaystyle 6\).

Задача 3. В условиях предыдущей задачи найти сумму расстояний от точки \( \displaystyle A\) до осей координат.

Задача – вообще элементарная, если знать, что такое расстояние от точки до осей.

Я надеюсь, но все же напомню тебе:

Расстояние от точки до осей координат – это длины перпендикуляров, опущенных из точки к осям.

Итак, на моем рисунке, расположенном чуть выше, я уже изобразил один такой перпендикуляр. К какой он оси?

К оси \( \displaystyle Ox\).

И чему же равна тогда его длина?

Она равна \( \displaystyle 8\).

Теперь сам проведи перпендикуляр к оси \( \displaystyle Oy\) и найди его длину. Она будет равна \( \displaystyle 6\), ведь так?

Тогда их сумма равна \( \displaystyle 14\).

Ответ: \( \displaystyle 14\).

Задача 4. В условиях задачи 2, найдите ординату точки, симметричной точке \( \displaystyle A\) относительно оси абсцисс.

Я думаю, тебе интуитивно ясно, что такое симметрия?

Очень многие объекты ею обладают: многие здания, столы, самолеты, многие геометрические фигуры: шар, цилиндр, квадрат, ромб и т. д.

Грубо говоря, симметрию можно понимать вот как: фигура состоит из двух (или более) одинаковых половинок. Такая симметрия называется осевой.

А что тогда такое ось?

Это как раз та линия, по которой фигуру можно, условно говоря, «разрезать» на одинаковые половинки (на данной картинке ось симметрии – прямая \( \displaystyle l\)):

Теперь давай вернемся к нашей задаче.

Нам известно, что мы ищем точку, симметричную относительно оси \( \displaystyle Ox\).

Тогда эта ось – ось симметрии.

Попробуй сам отметить такую точку. А теперь сравни с моим решением:

У тебя получилось так же?

Хорошо! У найденной точки нас интересует ордината.

А теперь скажи мне, подумав \( \displaystyle 10\) секунд, чему будет равна абсцисса точки, симметричной точке A относительно оси ординат?

В общем случае правило можно записать вот так:

Ну и теперь совсем страшная задача: найти координаты точки, симметричной точке \( \displaystyle A\), относительно начала координат.

Ты вначале подумай сам, а потом посмотри на мой рисунок!

Теперь задачка на параллелограмм:

Задача 5. Точки \( \displaystyle O\left( 0;

\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \( \displaystyle B\).

Можно решать эту задачу двумя способами: логикой и методом координат.

Я вначале применю метод координат, а потом расскажу тебе, как можно решить иначе.

Совершенно ясно, что абсцисса точки \( \displaystyle B\) равна \( \displaystyle 6\). (она лежит на перпендикуляре, проведенной из точки \( \displaystyle A\) к оси абсцисс).

Нам нужно найти ординату.

Воспользуемся тем, что наша фигура – параллелограмм, это значит, что \( \displaystyle CA=OB\).

Найдем длину отрезка \( \displaystyle CA\), используя формулу расстояния между двумя точками:

Опускаем перпендикуляр, соединяющий точку \( B\) с осью \( Ox\).

Точку пересечения обозначу буквой \( D\).

Длина отрезка \( OD\) равна \( 6\). (найди сам задачу, где мы обсуждали этот момент), тогда найдем длину отрезка \( BD\) по теореме Пифагора:

Длина отрезка – в точности совпадает с его ординатой.

Ответ: \( 2\).

Другое решение (я просто приведу рисунок, который его иллюстрирует)

Еще одна задачка на длину отрезка:

2 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те длину его сред­ней линии \( CD\), па­рал­лель­ной \( OA\).

Ты помнишь, что такое средняя линия треугольника?

Тогда для тебя эта задача элементарна. Если не помнишь, то я напомню: средняя линия треугольника – это линия, которая соединяет середины противоположных сторон.

Она параллельна основанию и равна его половине.

Основание – это отрезок \( OA\).

Его длину нам приходилось искать ранее, оно равно \( 10\).

Тогда длина средней линии вдвое меньше и равна \( 5\).

Ответ: \( 5\).

Комментарий: эту задачу можно решить и другим способом, к которому мы обратимся чуть позже.

А пока – вот тебе несколько задачек, потренируйся на них, они совсем простые, но помогают «набивать руку», на использовании метода координат!

1. Точки \( O\left( 0;

6 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тра­пе­ции. Най­ди­те длину ее сред­ней линии \( DE\).

2. Точки \( O\left( 0;

6 \right)\) и \( A\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \( A\).

3. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \( A\left( 6 ;

4. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

5. Окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат про­хо­дит через точку \( \displaystyle P\left( 8;\text< >6 \right)\). Най­ди­те ее ра­ди­ус.

Решения:

1. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

Основание \( \displaystyle CB\) равно \( \displaystyle 6\), а основание \( \displaystyle OA-10\).

Тогда \( \displaystyle ED=\frac<2>=\frac<16><2>=8\)

Ответ: \( \displaystyle 8\)

2. Проще всего решить эту задачу так: заметить, что \( \displaystyle \overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow\) (правило параллелограмма).

Вычислить координаты векторов \( \displaystyle \overrightarrow\) и \( \displaystyle \overrightarrow\) не представляет труда: \( \displaystyle \overrightarrow\left( 2,6 \right),

\overrightarrow\left( 8,2 \right)\).

При сложении векторов координаты складываются.

Тогда \( \displaystyle \overrightarrow\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 10,8 \right)\).

Эти же координаты имеет и точка \( \displaystyle A\), поскольку начало вектора \( \displaystyle \overrightarrow\) – это точка с координатами \( \displaystyle \left( 0,0 \right)\).

Нас интересует ордината. Она равна \( \displaystyle 8\).

Ответ: \( \displaystyle 8\)

3. Действуем сразу по формуле расстояния между двумя точками:

Ответ: \( \displaystyle 10\)

4. Посмотри на картинку и скажи, между какими двумя фигурами «зажата» заштрихованная область?

Она зажата между двумя квадратами. Тогда площадь искомой фигуры равна площади большого квадрата минус площадь маленького.

Сторона маленького квадрата – это отрезок, соединяющий точки \( \displaystyle \left( 0,2 \right)\) и \( \displaystyle \left( 2,0 \right).\) Его длина равна

Тогда площадь маленького квадрата равна

Точно так же поступаем и с большим квадратом: его сторона – это отрезок, соединяющий точки \( \displaystyle \left( 0,4 \right)\) и \( \displaystyle \left( 4,0 \right).\)

Тогда площадь большого квадрата равна

Площадь искомой фигуры найдем по формуле:

Ответ: \( \displaystyle 24\)

5. Если окружность имеет в качестве центра начало координат и проходит через точку \( \displaystyle P\), то ее радиус \( \displaystyle R\) будет в точности равен длине отрезка \( \displaystyle OP\) (сделай рисунок и ты поймешь, почему это очевидно).

Найдем длину этого отрезка:

Ответ: \( \displaystyle 10\)

6. Известно, что радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали.

Найдем длину любой из двух диагоналей (ведь в прямоугольнике они равны!)

\( \displaystyle R=\frac<1><2>\left| AC \right|=5\)

Ответ: \( \displaystyle 5\)

Ну что, ты со всем справился?

Было не очень сложно разобраться, ведь так? Правило здесь одно – уметь сделать наглядную картинку и просто «считать» с нее все данные.

Нам осталось совсем немного. Есть еще буквально два момента, которые бы мне хотелось обсудить:

Координаты середины отрезка

Давай попробуем решить вот такую нехитрую задачку.

Пусть даны две точки \( \displaystyle A\left( <_<1>>,<_<2>> \right)

Найти координаты середины отрезка \( \displaystyle AB\). Решение этой задачки следующее: пусть точка \( \displaystyle D\) – искомая середина, тогда \( \displaystyle D\) имеет координаты:

То есть: координаты середины отрезка = среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка.

Это правило очень простое и как правило не вызывает затруднений у учащихся. Давай посмотрим, в каких задачках и как оно употребляется:

1. Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \( \displaystyle A\left( 6,

2. Точки \( \displaystyle O\left( 0;

6 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \( \displaystyle P\) пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

Решения:

1. Первая задачка – просто классика. Действуем сразу по определению середины отрезка. Она имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac<6-2><2>,

Ордината равна \( \displaystyle 5\).

Ответ: \( \displaystyle 5\)

2. Легко видеть, что данный четырехугольник является параллелограммом (даже ромбом!). Ты и сам можешь это доказать, вычислив длины сторон и сравнив их между собой.

Что я знаю про параллелограмм?

Его диагонали точкой пересечения делятся пополам! Ага! Значит точка пересечения диагоналей – это что?

Это середина любой из диагоналей!

Выберу, в частности диагональ \( \displaystyle OA\). Тогда точка \( \displaystyle P\) имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac<6+0><2>,\frac<8+0> <2>\right)=\left( 3,4 \right).\)

Ордината точки \( \displaystyle P\) равна \( \displaystyle 4\).

Ответ: \( \displaystyle 4\)

3. С чем совпадает центр описанной около прямоугольника окружности?

Он совпадает с точкой пересечения его диагоналей. А что ты знаешь про диагонали прямоугольника?

Они равны и точкой пересечения делятся пополам. Задача свелась к предыдущей.

Возьму, например, диагональ \( \displaystyle AC\). Тогда если \( \displaystyle P\) – центр описанной окружности, то \( \displaystyle P\) – середина \( \displaystyle AC\).

Ищу координаты: \( \displaystyle P\left( \frac<-2+6><2>,\frac<-2+4> <2>\right)=P\left( 2,1 \right).\) Абсцисса равна \( \displaystyle 2\).

Ответ: \( \displaystyle 2\)

Теперь потренируйся немного самостоятельно, я лишь приведу ответы к каждой задачи, чтобы ты мог себя проверить.

1. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты \( \displaystyle \left( 8;

2. Най­ди­те ор­ди­на­ту цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты \( \displaystyle \left( 8;

3. Ка­ко­го ра­ди­у­са долж­на быть окруж­ность с цен­тром в точке \( \displaystyle P\left( 8;

6 \right),\) чтобы она ка­са­лась оси абс­цисс?

Умножение векторов

Все удалось? Очень на это надеюсь! Теперь – последний рывок.

Сейчас будь особенно внимателен. Тот материал, который я сейчас буду объяснять, имеет непосредственное отношение не только к простым задачам на метод координат, но также встречается повсеместно и в задачах повышенной сложности.

Какое из своих обещаний я еще не сдержал?

Вспомни, какие операции над векторами я обещал ввести и какие в конечном счете ввел? Я точно ничего не забыл?

Забыл! Забыл объяснить, что значит умножение векторов.

Есть два способа умножить вектор на вектор. В зависимости от выбранного способа у нас будут получаться объекты разной природы:

Векторное произведение выполняется довольно хитро. Как его делать и для чего оно нужно, мы с тобой обсудим чуть позже. А пока мы остановимся на скалярном произведении.

Есть аж два способа, позволяющих нам его вычислить:

Как ты догадался, результат должен быть один и тот же! Итак, давай вначале рассмотрим первый способ:

Источник

Adblock
detector