Что значит векторы противоположно направлены

Вектор. Определение и основные понятия

Обозначение вектора

Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.

vector 001

Длина вектора

Нулевой вектор

Длина нулевого вектора равна нулю.

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Длина вектора на плоскости

Длина вектора в трехмерном пространстве

Длина вектора в n-мерном пространстве

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

vector 002

Сонаправленные вектора

vector 003

Противоположно направленные вектора

vector 004

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

vector 005

Равные вектора

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

vector 006

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

9b7da66eb5bb0e80c82e88fd

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

calcsbox.com

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

© 2021 Все калькуляторы online

Копирование материалов запрещено

Источник

Вектор. Виды векторов.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через 314 25aeff6e015162aeb316983d8bd61558. У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

935 602d6443724cf5a7979f42a6902cd083

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 451 f3c8ac06eca308002736e3e42e026265. Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

426 46077ed178489468665dd9c6c3d39104

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

195 7dfd8e2a331fed3473065e1b3b544689

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

808 e1fb66727bc8ca279ae0cfb350aca96a

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

65 47c151a3c319f16ed66ab678d29adda2

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

586 1dfcbe0e83bdb81f1a8e0df8e0af74cf

168 4c4fa5c58c67d3f0d10f660cae04457b

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

357 8734705ded4afed3261f2cfd65752eb9

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

423 1b6b2f6917cb2a36bae077dde0c7ca8e

924 b269c2ceb1e413b7297d53a5db45e056

За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как 278 31292169d9e8c072a166a69d77400f5e, соответственно

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор 355 6504e12240317507dedb9eac1e34c30eможно записать в таком виде:

251 b98b01c6d71dfff23d27b21751519462

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Источник

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

1

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

2

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

3

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

4

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Источник

Векторы для чайников. Действия с векторами.
Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Читайте также:  Что значит аос на французских винах

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания.

Более того, по материалам сайта создана книга!

. да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
vektory dlya chainikov clip image002
В данном случае началом отрезка является точка vektory dlya chainikov clip image004, концом отрезка – точка vektory dlya chainikov clip image006. Сам вектор обозначен через vektory dlya chainikov clip image008. Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор vektory dlya chainikov clip image010, и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором vektory dlya chainikov clip image012. У такого вектора конец и начало совпадают.

. Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении vektory dlya chainikov clip image008 0000и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: vektory dlya chainikov clip image014, но допустима и запись vektory dlya chainikov clip image008 0001, которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: vektory dlya chainikov clip image016, подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
vektory dlya chainikov clip image018и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
vektory dlya chainikov clip image020В частности, наш вектор vektory dlya chainikov clip image008 0002можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой vektory dlya chainikov clip image022.

Длиной или модулем ненулевого вектора vektory dlya chainikov clip image008 0003называется длина отрезка vektory dlya chainikov clip image024. Длина нулевого вектора vektory dlya chainikov clip image012 0000равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: vektory dlya chainikov clip image026, vektory dlya chainikov clip image028

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:
vektory dlya chainikov clip image030

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора vektory dlya chainikov clip image022 0000и vektory dlya chainikov clip image032:
vektory dlya chainikov clip image034

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор vektory dlya chainikov clip image032 0000от конца вектора vektory dlya chainikov clip image022 0001:
vektory dlya chainikov clip image038

Суммой векторов vektory dlya chainikov clip image022 0002и vektory dlya chainikov clip image032 0001является вектор vektory dlya chainikov clip image040. Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору vektory dlya chainikov clip image022 0003, а затем по вектору vektory dlya chainikov clip image032 0002. Тогда сумма векторов vektory dlya chainikov clip image042представляет собой вектор результирующего пути vektory dlya chainikov clip image044с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор vektory dlya chainikov clip image032 0003отложить от начала вектора vektory dlya chainikov clip image022 0004, то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: vektory dlya chainikov clip image046, при этом возможна детализация: vektory dlya chainikov clip image048(векторы сонаправлены) или vektory dlya chainikov clip image050(векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора vektory dlya chainikov clip image022 0005на число vektory dlya chainikov clip image052является такой вектор vektory dlya chainikov clip image032 0004, длина которого равна vektory dlya chainikov clip image055, причём векторы vektory dlya chainikov clip image022 0006и vektory dlya chainikov clip image032 0005сонаправлены при vektory dlya chainikov clip image058и противоположно направлены при vektory dlya chainikov clip image060.

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:
vektory dlya chainikov clip image062

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель vektory dlya chainikov clip image052 0000отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах vektory dlya chainikov clip image065или vektory dlya chainikov clip image067, то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора vektory dlya chainikov clip image069в два раза меньше длины вектора vektory dlya chainikov clip image071. Если множитель vektory dlya chainikov clip image052 0001по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в vektory dlya chainikov clip image052 0002раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, vektory dlya chainikov clip image073. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы vektory dlya chainikov clip image075сонаправлены. Векторы vektory dlya chainikov clip image040 0000и vektory dlya chainikov clip image078также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

Читайте также:  Что делать если щенок пахнет псиной

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы vektory dlya chainikov clip image080и vektory dlya chainikov clip image082:

vektory dlya chainikov clip image084

Векторы vektory dlya chainikov clip image080 0000и vektory dlya chainikov clip image082 0000ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: vektory dlya chainikov clip image088.

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: vektory dlya chainikov clip image090. Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор vektory dlya chainikov clip image092плоскости единственным образом выражается в виде:
vektory dlya chainikov clip image094, где vektory dlya chainikov clip image096числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение vektory dlya chainikov clip image094 0000называется разложением вектора vektory dlya chainikov clip image092 0000 по базису vektory dlya chainikov clip image090 0000.

vektory dlya chainikov clip image100

! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!

Начнем с первой буквы алфавита: vektory dlya chainikov clip image102. По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: vektory dlya chainikov clip image104и vektory dlya chainikov clip image106;
2) сложение векторов по правилу треугольника: vektory dlya chainikov clip image108.

А теперь мысленно отложите вектор vektory dlya chainikov clip image071 0000от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение vektory dlya chainikov clip image111будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы vektory dlya chainikov clip image113не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы vektory dlya chainikov clip image115, vektory dlya chainikov clip image117иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор vektory dlya chainikov clip image115 0000сонаправлен с базисным вектором vektory dlya chainikov clip image119, вектор vektory dlya chainikov clip image117 0000направлен противоположно по отношению к базисному вектору vektory dlya chainikov clip image122. У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:
vektory dlya chainikov clip image124
vektory dlya chainikov clip image126
А базисные векторы, к слову, так: vektory dlya chainikov clip image128(по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: vektory dlya chainikov clip image130, vektory dlya chainikov clip image132. Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: vektory dlya chainikov clip image134, vektory dlya chainikov clip image136. Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида vektory dlya chainikov clip image094 0001иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

vektory dlya chainikov clip image139Или со знаком равенства: vektory dlya chainikov clip image141

Сами базисные векторы записываются так: vektory dlya chainikov clip image143и vektory dlya chainikov clip image145

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору vektory dlya chainikov clip image119 0000, строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору vektory dlya chainikov clip image122 0000. Действительно, vektory dlya chainikov clip image148и vektory dlya chainikov clip image150– это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:
vektory dlya chainikov clip image152

Перед вами ортонормированный базис vektory dlya chainikov clip image154трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы vektory dlya chainikov clip image156данного базиса попарно ортогональны: vektory dlya chainikov clip image158и vektory dlya chainikov clip image160. Ось vektory dlya chainikov clip image162наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.

Любой вектор vektory dlya chainikov clip image092 0001трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису vektory dlya chainikov clip image154 0000:
vektory dlya chainikov clip image166, где vektory dlya chainikov clip image168– координаты вектора vektory dlya chainikov clip image170(числа) в данном базисе.

Пример с картинки: vektory dlya chainikov clip image172. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: vektory dlya chainikov clip image174(красная стрелка), vektory dlya chainikov clip image176(зеленая стрелка) и vektory dlya chainikov clip image178(малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: vektory dlya chainikov clip image180. Вектор суммы vektory dlya chainikov clip image071 0001начинается в исходной точке отправления (начало вектора vektory dlya chainikov clip image174 0000) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора vektory dlya chainikov clip image178 0000).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор vektory dlya chainikov clip image071 0002от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение vektory dlya chainikov clip image180 0000«останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи vektory dlya chainikov clip image172 0000широко используются версии со скобками: vektory dlya chainikov clip image186либо vektory dlya chainikov clip image188.

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор vektory dlya chainikov clip image190(дотошно vektory dlya chainikov clip image192) – запишем vektory dlya chainikov clip image194;
вектор vektory dlya chainikov clip image196(дотошно vektory dlya chainikov clip image198) – запишем vektory dlya chainikov clip image200;
вектор vektory dlya chainikov clip image202(дотошно vektory dlya chainikov clip image204) – запишем vektory dlya chainikov clip image206.

Базисные векторы записываются следующим образом:
vektory dlya chainikov clip image208

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости vektory dlya chainikov clip image002и vektory dlya chainikov clip image004 0000, то вектор vektory dlya chainikov clip image006 0000имеет следующие координаты:
vektory dlya chainikov clip image008 0004

Если даны две точки пространства vektory dlya chainikov clip image010 0000и vektory dlya chainikov clip image012 0001, то вектор vektory dlya chainikov clip image006 0001имеет следующие координаты:
vektory dlya chainikov clip image014 0000

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора vektory dlya chainikov clip image016 0000. Формулы в конце урока.

Даны две точки плоскости vektory dlya chainikov clip image018 0000и vektory dlya chainikov clip image020 0000. Найти координаты вектора vektory dlya chainikov clip image006 0002

Решение: по соответствующей формуле:
vektory dlya chainikov clip image022 0007

Как вариант, можно было использовать следующую запись:
vektory dlya chainikov clip image024 0000

Эстеты решат и так: vektory dlya chainikov clip image026 0000

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ: vektory dlya chainikov clip image028 0000

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:
vektory dlya chainikov clip image030 0000

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису vektory dlya chainikov clip image032 0006, в данном случае vektory dlya chainikov clip image034. Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через vektory dlya chainikov clip image022). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости vektory dlya chainikov clip image032 0007.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: vektory dlya chainikov clip image036, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Читайте также:  Чем уменьшить кислотность в желудке

Дамы и господа, набиваем руку:

а) Даны точки vektory dlya chainikov clip image038и vektory dlya chainikov clip image040 0001. Найти векторы vektory dlya chainikov clip image006 0003и vektory dlya chainikov clip image016 0001.
б) Даны точки vektory dlya chainikov clip image043и vektory dlya chainikov clip image045. Найти векторы vektory dlya chainikov clip image047и vektory dlya chainikov clip image049.
в) Даны точки vektory dlya chainikov clip image051и vektory dlya chainikov clip image053. Найти векторы vektory dlya chainikov clip image055 0000и vektory dlya chainikov clip image057.
г) Даны точки vektory dlya chainikov clip image059. Найти векторы vektory dlya chainikov clip image061.

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости vektory dlya chainikov clip image002 0000и vektory dlya chainikov clip image004 0001, то длину отрезка vektory dlya chainikov clip image064можно вычислить по формуле vektory dlya chainikov clip image066

Если даны две точки пространства vektory dlya chainikov clip image010 0001и vektory dlya chainikov clip image012 0002, то длину отрезка vektory dlya chainikov clip image064 0000можно вычислить по формуле vektory dlya chainikov clip image068

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: vektory dlya chainikov clip image070и vektory dlya chainikov clip image072, но более стандартен первый вариант

Даны точки vektory dlya chainikov clip image074и vektory dlya chainikov clip image040 0002. Найти длину отрезка vektory dlya chainikov clip image064 0001.

Решение: по соответствующей формуле:
vektory dlya chainikov clip image077

Ответ: vektory dlya chainikov clip image079

Для наглядности выполню чертёж
vektory dlya chainikov clip image081

Отрезок vektory dlya chainikov clip image064 0002это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ vektory dlya chainikov clip image083можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приёмвынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат vektory dlya chainikov clip image085и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: vektory dlya chainikov clip image087. Конечно, оставить ответ в виде vektory dlya chainikov clip image085 0000не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:
vektory dlya chainikov clip image089

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например vektory dlya chainikov clip image091. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: vektory dlya chainikov clip image093. Да, разделилось нацело, таким образом: vektory dlya chainikov clip image095. А может быть, число vektory dlya chainikov clip image097ещё раз удастся разделить на 4? vektory dlya chainikov clip image099. Таким образом: vektory dlya chainikov clip image101. У числа vektory dlya chainikov clip image103последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: vektory dlya chainikov clip image105. В результате:
vektory dlya chainikov clip image107Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
vektory dlya chainikov clip image109

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки vektory dlya chainikov clip image111 0000и vektory dlya chainikov clip image113 0000. Найти длину отрезка vektory dlya chainikov clip image064 0004.

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости vektory dlya chainikov clip image115 0001, то его длина вычисляется по формуле vektory dlya chainikov clip image117 0001.

Если дан вектор пространства vektory dlya chainikov clip image119 0001, то его длина вычисляется по формуле vektory dlya chainikov clip image121.

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Даны точки vektory dlya chainikov clip image074 0000и vektory dlya chainikov clip image040 0003. Найти длину вектора vektory dlya chainikov clip image006 0004.

Я взял те же точки, что и в Примере 3.

Решение: Сначала найдём вектор vektory dlya chainikov clip image006 0005:
vektory dlya chainikov clip image124 0000

По формуле vektory dlya chainikov clip image117 0001вычислим длину вектора:
vektory dlya chainikov clip image127

Ответ: vektory dlya chainikov clip image129

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:
vektory dlya chainikov clip image131

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через vektory dlya chainikov clip image022.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка vektory dlya chainikov clip image064 0005равна длине вектора vektory dlya chainikov clip image006 0006. Так же очевидно, что длина вектора vektory dlya chainikov clip image016 0002будет такой же. По итогу: vektory dlya chainikov clip image135

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки vektory dlya chainikov clip image074 0001и vektory dlya chainikov clip image040 0004. Найти длину отрезка vektory dlya chainikov clip image064 0006.

Вместо применения формулы vektory dlya chainikov clip image066 0000, поступаем так:
1) Находим вектор vektory dlya chainikov clip image124 0001.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка vektory dlya chainikov clip image064 0007равна длине вектора vektory dlya chainikov clip image006 0007:
vektory dlya chainikov clip image138

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Вышесказанное справедливо и для пространственного случая

а) Даны точки vektory dlya chainikov clip image140и vektory dlya chainikov clip image142. Найти длину вектора vektory dlya chainikov clip image016 0003.
б) Даны векторы vektory dlya chainikov clip image145 0000, vektory dlya chainikov clip image147, vektory dlya chainikov clip image149и vektory dlya chainikov clip image151. Найти их длины.

Решения и ответы в конце урока.

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости vektory dlya chainikov clip image153и vektory dlya chainikov clip image155. Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: vektory dlya chainikov clip image157. Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: vektory dlya chainikov clip image159. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор vektory dlya chainikov clip image161и найдём сумму трёх векторов: vektory dlya chainikov clip image163

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы vektory dlya chainikov clip image165, то их суммой является вектор vektory dlya chainikov clip image167.

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор vektory dlya chainikov clip image153 0000умножить на число vektory dlya chainikov clip image169, нужно каждую координату данного вектора умножить на число vektory dlya chainikov clip image169 0000:
vektory dlya chainikov clip image172 0001.

Для пространственного вектора vektory dlya chainikov clip image174 0001правило такое же:
vektory dlya chainikov clip image176 0000

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов vektory dlya chainikov clip image032 0008, vektory dlya chainikov clip image178 0001но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Даны векторы vektory dlya chainikov clip image180 0001и vektory dlya chainikov clip image182. Найти vektory dlya chainikov clip image184и vektory dlya chainikov clip image186 0000

Решение чисто аналитическое:
vektory dlya chainikov clip image188 0000

Ответ: vektory dlya chainikov clip image190 0000

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе vektory dlya chainikov clip image032 0009, то графическое решение задачи будет таким:
vektory dlya chainikov clip image192
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Даны векторы vektory dlya chainikov clip image194 0000и vektory dlya chainikov clip image196 0000. Найти vektory dlya chainikov clip image198 0000и vektory dlya chainikov clip image200 0000

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
vektory dlya chainikov clip image202 0000

Ответ: vektory dlya chainikov clip image204 0000

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Даны векторы vektory dlya chainikov clip image206 0000. Найти vektory dlya chainikov clip image208 0000и vektory dlya chainikov clip image210

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Задание: vektory dlya chainikov clip image212, vektory dlya chainikov clip image214

Пример 2: Решение:
а)
vektory dlya chainikov clip image216
б)
vektory dlya chainikov clip image218
в)
vektory dlya chainikov clip image220
г)
vektory dlya chainikov clip image222

Пример 4: Решение:
По соответствующей формуле: vektory dlya chainikov clip image111 0001и vektory dlya chainikov clip image113 0001
vektory dlya chainikov clip image224
Ответ:vektory dlya chainikov clip image226

Пример 6: vektory dlya chainikov clip image140 0000и vektory dlya chainikov clip image142 0000
а) Решение: найдём вектор vektory dlya chainikov clip image016 0004:
vektory dlya chainikov clip image230
Вычислим длину вектора:
vektory dlya chainikov clip image232
Ответ: vektory dlya chainikov clip image234

б) Решение:
Вычислим длины векторов:
vektory dlya chainikov clip image236

Пример 9: Решение:
vektory dlya chainikov clip image238
Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки:
vektory dlya chainikov clip image240

Ответ: vektory dlya chainikov clip image242

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Adblock
detector