Что значит верная пропорция
Урок 22 Бесплатно Пропорции
Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.
Попробуйте отгадать ребус.
На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.
Пропорция
В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.
Пропорции применяли с древности при решении различных задач.
Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.
Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.
В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.
В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.
В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.
В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.
Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.
Возьмем два отношения: \(\mathbf<\frac<36><9>>\) и \(\mathbf<\frac<12><3>>\) и эти отношения равны, так как \(\mathbf<36\div9=4>\) и \(\mathbf<12\div3=4>\), значит \(\mathbf<\frac<36><9>= \frac<12><3>>\)
Равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв запишем пропорцию из двух отношений так: \(\mathbf
Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».
Все члены пропорции не равны нулю: \(\mathbf
Числа a и d называют крайними членами пропорции.
Числа b и c называют средними членами пропорции.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В мире существует «золотая пропорция», которую называют «золотым сечением». Это пропорциональное деление отрезка на различные по размеру части, но в таком соотношении к друг другу, что меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всей величине.
Приблизительное значение «золотого сечения» равно 1,618… Число это продолжается бесконечно после запятой, и оно не периодично.
В процентном выражении целая часть относится к большей, как большая к меньшей, примерно так: 62% и 38% соответственно.
Обозначают число «золотого сечения» математической буквой \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
Мир живой и неживой природы, мир творений человека полон красоты, симметрии и гармонии. Этот мир описывается законом «золотого сечения».
Рассмотрим только несколько примеров, где присутствует и используется правило «золотого сечения».
Считается, что длина фаланг пальцев и длина кисти руки, средний палец и мизинец, или высота лица и расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ у пропорционального человека находятся в определенных отношениях, соответствуя правилу «золотого сечения».
Форма тела ящериц, стрекоз, бабочек соответствует закону «золотого сечения»: отношение грудной и брюшной части тела приближенно равны значению «золотого сечения».
Спиралевидная форма ракушек тоже описывается числом \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
«Золотая пропорция» была обнаружена в египетских пирамидах, произведениях искусства, архитектуре и применяется до сих пор в разных областях жизни человека
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Что такое пропорция
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d
a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
Пропорция
Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.
Что такое пропорция?
Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение 
равно отношению 
Данная пропорция читается следующим образом:
Десять так относится к пяти, как два относится к одному
Дроби, из которых составлена пропорция, всегда равны. Например, если в пропорции выполнить деление в обеих дробях, то получится число 2 в обеих частях:
Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков
Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:
Преобразуем данное отношение в дробь
Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки
Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик
Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:
Преобразуем данное отношение в дробь:
Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки:
В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.
Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам
а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам
Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что 
, поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.
Поэтому отношение 
не пропорционально отношению 
.
Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями и знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.
Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2
Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.
В нашей пропорции крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8
Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:
Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:
С помощью переменных пропорцию можно записать так:
Данное выражение можно прочесть следующим образом:
a так относится к b, как c относится к d
Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции
Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.
Например, проверим правильно ли составлена пропорция . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:
4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.
2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.
4 × 4 = 2 × 8
4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция составлена правильно.
Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция 
Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:
2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12
3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3
2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция составлена неправильно.
Поэтому в пропорции разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Составление и решение пропорций в математике
Пропорции — что это в математике
Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?
Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.
Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.
Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.
Отношением двух чисел называют частное этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.
Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.
Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.
В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.
Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.
Пропорцией называют равенство двух отношений.
Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.
Можно ли составить из этих выражений пропорцию?
Найдем значения каждого из отношений:
Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.
Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.
Такое равенство называется пропорцией.
Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.
Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».
Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.
Числа b и c — средними членами пропорции.
Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.
Крайние члены пропорции — 42 и 7.
Средние члены пропорции — 6 и 49.
Средние члены пропорции — 5 и 35.
Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.
Основное свойство пропорции, правило
Основное свойство пропорции
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:
Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.
Обратное утверждение тоже верно:
Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.
Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.
Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.
Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.
Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.
По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.
Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Составление и решение пропорций
Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.
Слово «относится» заменяем на знак деления.
Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.
Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.
Проверяем, верна ли пропорция.
Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.
Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:
Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Вывод: пропорция верна.
Примеры уравнений с решением для 6 класса
Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.
Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.
Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.
Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.
Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.
По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Записываем полученное выражение:
1 действие — умножение.
Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.
2 действие — деление.
Смешанное число переводим в неправильную дробь.
Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.
Определение пропорции. Верные и неверные пропорции.
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Тема: Определение пропорции. Верные и неверные пропорции.
Цели: ввести понятие пропорции, научить находить крайние и средние члены пропорции; научить составлять пропорции из отношений: ознакомить с двумя способами проверки верной пропорции; развивать грамотную математическую речь; вычислительные навыки, умение анализировать и делать выводы.
Информация для учащихся
Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно:
1. Вычислить числовое значение каждого отношения, составляющего пропорцию.
2. Если отношения равны, то пропорция составлена верно.
3. Если отношения не равны, то пропорция составлена неверно.
2 способ (основан на использовании основного свойства пропорции)
1. Найти произведение крайних членов пропорции.
2. Найти произведение ее средних членов пропорции.
3. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний учащихся
1. Познакомить учащихся с результатами самостоятельной работы.
2. Решить задания, где допущено наибольшее количество ошибок.
1. Найдите: 10% от 500; 40% от 300; 125% от 200: 50% от 620: 250% от 800.
— Как найти процент от числа?
2. Найдите значение выражений: 
3. Сосчитайте количество треугольников на чертеже.
4. На столе горят 7 свечей, 3 свечи потушили. Сколько свечей останется на столе через 5—6 часов? (3.)
5. Сторона квадрата 6 см. На сколько увеличится периметр этого квадрата, если каждая сторона увеличится на 3 см? Что произойдет с площадью квадрата?
IV . Индивидуальная работа
Работу 1-го и 2-го уровня проверяют сильные учащиеся; работу повышенного уровня проверяет учитель.
1 карточка. I уровень
Решите уравнения относительно х:
2 карточка. II уровень
Решите уравнения относительно x :
3 карточка. Повышенный уровень Решите уравнения относительно х:
V. Сообщение темы урока
— Прочитайте слово: я и о о п п р р ц. Правильно: пропорция. Сегодня на уроке мы познакомимся с пропорциями, узнаем, что они могут быть верными и неверными, научимся составлять верные пропорции.
VI. Изучение нового материала
1. Подготовительная работа.
— Придумайте отношение, равное 5.
Записать на доске все ответы.
— Если наши отношения равны 5, я могу составить из них равенства:
— Как по-другому записать данное равенство? (Записать частное в виде дроби.)
Определение. Равенство двух отношений называют пропорцией.
2. Работа над новой темой.
а) Запишем пропорцию в буквенном виде: 
Будем считать, что а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
— Прочитайте по-разному пропорции, записанные на доске.
— Числа а и d называют крайними членами пропорции, а числа b и с — средними членами.
— Назовите крайние и средние члены пропорций.
б) Рассмотрим первую пропорцию: 100 : 200 = 4:8.
— Найдем произведение ее крайних и произведение ее средних членов.
— Сравните эти произведения. (Они равны.)
— Проверьте еще две пропорции.
— Что интересного заметили?
— Какой вывод можно сделать? (Произведение крайних членов равно произведению средних членов.)
— Я еще добавлю, что это справедливо для пропорции, которая называется верной.
— В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
— Сформулируйте обратное утверждение. (Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.)
— Это свойство называется основным свойством пропорции.
— Запишем это свойство в буквенном виде: а · d = b · с.
a и d — крайние члены
b и с — средние члены
а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
VII. Физкультминутка (слайд шоу )
VIII. Закрепление изученного материала
— Какой вывод можно сделать? (Так как отношения равны, то пропорции составлены верно.)
— Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно вычислить числовое значение каждого отношения.
— Если отношения равны, то пропорция составлена верно.
— Если отношения не равны, то пропорция составлена неверно.
IX. Работа над задачей
№ 13 сборник задач(на обратной стороне доски и в тетрадях).
— Решить задачу двумя способами.
— Разобрать только с теми учащимися, которые не понимают, как решать. Они решают только одним способом.
— Зная, что вместо 240 холодильников фактически выпускали 300, что можно узнать? (Сколько холодильников выпускали сверх нормы.)
— Зная, сколько холодильников выпускали сверх норы и зная норму выпуска, что можем узнать? <На сколько процентов увеличилось производство холодильников за смену.)
2) 
— увеличилось производство холодильников за смену.
1) 
— составляет выпуск холодильников сверх нормы.
X. Подведение итогов урока
— Что такое пропорция?
— Как называются числа х и у в пропорции х : a = b : у?
— Как называются числа а и b в пропорции х : a = b : у?
— Сформулируйте основное свойство пропорции.
Цвет настроения: оставить на радуге- политре.
Домашнее задание Тестовое задание 1 тема 3
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-508892
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В России стартует пилотный проект по реабилитации детей-инвалидов
Время чтения: 2 минуты
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Во всех педвузах страны появятся технопарки
Время чтения: 1 минута
Зарплаты педагогов Ростовской области вырастут в среднем на 10-15%
Время чтения: 2 минуты
Учительница из Киргизии победила в конкурсе Минпросвещения РФ «Учитель-международник»
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
