Что значит верные числа

Электронная библиотека

Значащие цифры десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

x = 0.002036, цифры 2036 являются значащими;

x = 2270000, все цифры этого числа являются значащими.

Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.

Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:

x = 0.002306 ± 0.00001.

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:

x = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.

Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.

В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).

x = 0.002306 ± 0.00007;

В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).

В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).

В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).

При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.

Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник

Что значит верные числа

sepLnRtGrSh

Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними

1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях

Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.

Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.

Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.

Читайте также:  Чему снятся лошади женщине

Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.

Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.

Причинами появления погрешностей являются:

Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.

Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.

Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.

Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

1.2 Приближенные числа

Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a * называется величина:

Любое число d ( a * ) , удовлетворяющее неравенству

Источник

Верные и сомнительные цифры приближенного значения числа.

Значащие цифры приближенного значения числа

При вычислениях часто трудно указать наряду с приближенными значениями их погрешности. А в различных справочниках указывать погрешности приближенных данных неудобно, неэкономично. Поэтому при записи приближенных значений чисел требуют, чтобы по этой записи можно было определить границу абсолютной погрешности приближения. Для этого вводится понятие верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.

Определение: Цифра называется верной, если граница абсолютной погрешности данного приближенного значения числа не превосходит (£) единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.

Пример: Определить верные и сомнительные цифры в приближенном значении числа:

1. х = 35,4 ± 0,08

Вывод: Если в записи приближенного значения числа какая-то цифра – верная, то и все предшествующие ей цифры так же являются верными.

image0342. х = 9,846 ± 0,04

image035Цифра 4 в 0,01; h = 0,04 £ 0,01; 4 – сомнительная цифра;

Цифра 8 в 0,1; h = 0,04 £ 0,1; 8 – верная цифра;

Следовательно, 9 – верная цифра.

image0363. х = 945,673 ± 0,03

image037Цифра 3 в 0,001; h = 0,03 £ 0,001; 3 – сомнительная цифра;

Цифра 7 в 0,01; h = 0,03 £ 0,01; 7 – сомнительная цифра;

Цифра 6 в 0,1; h = 0,03 £ 0,1; 6 – верная цифра;

Читайте также:  Чем почистить подоконник пластикового окна

Следовательно, 5, 4, 9 – верные цифры.

При записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила.

Правила записи приближенных чисел:

Пример: Записать правильно приближенное значение числа:

1. х = 950,031 ± 0,04

Следовательно, 0, 5, 9 – верные цифры.

х » 950,0 (правила 1, 2)

2. х = 0,075 ± 0,000005

х » 0,07500 (правила 1, 2)

image0393. х = 746000000 ± 5000

Следовательно, 0, 6, 4, 7 – в. ц.

х » 74600 × 10 4 (правила 1, 3)

Если приближенное значение числа дано без указания границы абсолютной погрешности, то ее можно определить по записи этого приближенного значения, используя определение верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.

Пример:

1. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 3,14.

Решение:

Дата добавления: 2017-01-29 ; просмотров: 40616 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Значащие цифры и число верных знаков

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

Известно, что любое положительное число A может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

где ai – цифры числа A, причем старшая цифра am≠0, а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд). Например:

На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, остальные четыре цифры, включая два нуля, будут значащими. В числе 0,00208 значащими цифрами будут три последних цифры.

Таким образом, точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Не всегда верные цифры в приближенном числе будут совпадать с соответствующими цифрами точного числа. Например, приближенное число a*= 9,995, заменяющее точное A=10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны.

Источник

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа image 56354приближения image 56367называется верной, если в том же десятичном разряде чисел image 56403и image 56404стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Читайте также:  Что делать при сильной головной боли после алкоголя

lfirmal 3

Пример №45.4.

Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа image 56405.

Решение:

Поскольку image 56405, запишем диапазон возможных значений image 56353в виде двойного неравенства:

image 56407

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи image 56403и image 56404), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число image 56353обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

image 56408

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение image 56353будет записано следующим образом: image 56410. В этом случае граница абсолютной погрешности image 56411.

2. Если задано число image 56412, то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа image 56353выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: image 56413. Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как image 56414, то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число image 56415. В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа image 56353выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на image 56416, поскольку заменяем только одну цифру. Тогда image 56417.

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде image 56418, где image 56419— цифры, причем image 56420(в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число image 56421в стандартном виде будет представлено как image 56422.

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число image 56423— три значащие цифры: 3, 0, 0.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

lfirmal 3

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Adblock
detector