Что значит верные цифры
Что значит верные цифры
Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними
1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях
Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.
Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.
Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.
Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.
Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.
Причинами появления погрешностей являются:
Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.
Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.
Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.
Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.
1.2 Приближенные числа
Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a * называется величина:
Любое число d ( a * ) , удовлетворяющее неравенству
Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры
Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».
Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.
Цифра десятичного разряда приближенного числа 
приближения 
называется верной, если в том же десятичном разряде чисел 
и 
стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.
Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.
Пример №45.4.
Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа 
.
Решение:
Поскольку , запишем диапазон возможных значений 
в виде двойного неравенства:
Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.
Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.
Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.
Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:
Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.
1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: 
. В этом случае граница абсолютной погрешности 
.
2. Если задано число 
, то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: 
. Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как 
, то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.
3. Пусть задано число 
. В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на 
, поскольку заменяем только одну цифру. Тогда 
.
В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде 
, где 
— цифры, причем 
(в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число 
в стандартном виде будет представлено как 
.
Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.
Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число 
— три значащие цифры: 3, 0, 0.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Граница абсолютной погрешности
Вычислительная математика. Граница абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность приближенного значения числа, граница абсолютной погрешности, верные и значащие цифры числа
Верные и значащие цифры числа. Округление чисел.
Наша система счета или счисления называется десятичной системой счисления, а 10 – основанием этой системы:
разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Аналогично, разряды десятичных дробей: десятые, сотые, тысячные и т.д.
В приближенном числе различают верные и сомнительные цифры. Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра.
Если же граница абсолютной погрешности больше единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными. Граница абсолютной погрешности ∆а находится непосредственно по записи приближенного значения а числа х.
Например:
Приближенное значение 24,5
Граница абсолютной погрешности 0,3
Приближенное значение 375
Граница абсолютной погрешности 20
Когда рассматриваем верные цифры в широком смысле, то достаточно посмотреть на границу абсолютной погрешности и взять цифры приближенного числа, которые на разряд больше, чем граница абсолютной погрешности.
Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана эта цифра. Если же граница абсолютной погрешности больше половины единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными.
В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчётах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными.
Значащими цифрами приближенного числа, выраженного десятичной дробью считаются все верные цифры этой дроби, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.
Например:
Приближенное число 10,408 имеет 5 значащих цифр, так как крайняя слева цифра числа отлична от нуля (она равна 1)
Приближенное число 0,01104 имеет 4 значащие цифры:1, 1, 0, 4. Два нуля, стоящие слева от 1 не считаются значащими цифрами
Приближенное число 0,030 имеет 2 значащие цифры: 3 и 0 справа, по правилу два нуля, стоящие слева от цифры 3, не относятся к значащим.
Значащими цифрами приближенного целого числа считаются все его цифры, кроме нулей, поставленных взамен отброшенных или
Например: Частное
Число 6000 имеет 3 значащие цифры, так как один последний нуль поставлен вместо отброшенной цифры (единицы).
Округление чисел. При округлении числа а его заменяют числом а1 с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности
| а – а1 | называется погрешностью округления.
При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.
Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производится до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.
Например:
Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:
Граница абсолютной погрешности 0,05 (разряд – сотые) цифры справа налево:1 – сомнительная, 8 – сомнительная, 2 – сомнительная, 3 – верная цифра 3
Что значит верные цифры
Формы записи приближенных чисел
Приближенные числа записываются либо в виде конечных десятичных дробей, либо в виде целых чисел.
Замечание 1. Определение естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи целого числа дается аналогично.
В связи с этим имеет место следующее определение.
Определение 2. Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример 4. У числа 0,0046 только две значащих цифры: 4 и 6.
Пример 5. У числа 0,004600 четыре значащих цифры: 4, 6 и два последних нуля. (Для чего оставляют нули в конце числа, будет рассмотрено позднее).
Если приходится работать с большим количеством приближенных чисел, то запись 
не удобна. Поэтому решено было установить такой способ записи приближенных чисел, чтобы по самой этой записи можно было судить об их абсолютной (предельной абсолютной) погрешности.
Определение 4. Цифра приближенного числа называется верной в узком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в узком смысле.
В связи с рассмотренным примером возникает следующий вопрос: «Как отличить приближенное число 34200 с двумя последними сомнительными нулями от точного числа 34200?»
Электронная библиотека
Значащие цифры десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.
x = 0.002036, цифры 2036 являются значащими;
x = 2270000, все цифры этого числа являются значащими.
Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.
Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:
x = 0.002306 ± 0.00001.
Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:
x = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.
Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.
Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.
В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).
x = 0.002306 ± 0.00007;
В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).
В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).
В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).
При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.
Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.
Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
