Что значит вершина угла
Что значит вершина угла
Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, то есть два луча с общим началом называются углом. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.
Обозначение углов
Угол обозначается или одной буквой или цифрой, поставленной при вершине угла, например угол A или угол 1, или тремя буквами, из которых одна стоит при его вершине, а две другие при каких-либо точках его сторон. При обозначении угла тремя буквами, буква, стоящая при его вершине, произносится и пишется между двумя другими, например угол AOB. Слово угол в записи заменяют знаком ∠, например ∠1.
Внутренняя и внешняя область
Два луча, исходящие из одной точки, образуют два угла. Для обозначения нужного угла, угол обычно помечается дугой:
Если рассматриваются оба угла, образованные двумя лучами, то они помечаются разным числом дуг, но только в том случае, если углы не равны. Равные углы обозначаются одинаково.
Любой угол делит плоскость на две области. Одна область обычно называется внутренней, а другая внешней. Внутренняя область угла — это часть плоскости, расположенная между сторонами рассматриваемого угла:
Внешняя область угла — это часть плоскости, которая не принадлежит рассматриваемому углу.
Математика
Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.
Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.
Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.
Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.
Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.
На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.
Таким образом угол ABC есть угол B или
Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком ∠.
Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:
В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.
На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.
Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.
Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.
Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14
уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD уг. DEF.
c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF
На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.
Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.
Острый угол есть всякий угол меньше прямого, а тупой угол есть угол больший прямого.
Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.
Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.
Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.
Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).
Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.
Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра
уг. DCB = уг. ACD (a)
уг. BCE = уг. ACE.
Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство
уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.
Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим
неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.
Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.
Теорема 4. Все прямые углы равны.
Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).
Требуется доказать, что прямые углы равны.
Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.
Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.
Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.
В таком случае
всякий острый угол d.
Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.
Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.
Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).
Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.
Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда
Сложив эти равенства, имеем:
ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).
Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.
Из теоремы 5 вытекает следствие. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.
Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.
Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).
Требуется доказать, что ACB прямая линия.
Доказательство. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда
Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно
ACD + DCB = ACD + DCE
откуда выходит при сокращении
заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).
Теорема 7. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.
Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).
Требуется доказать, что
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.
Доказательство. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).
Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).
Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.
Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).
Требуется доказать, что
AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.
Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда
GOB + BOC + COD + DOE = 2d.
Сложив эти равенства, имеем:
EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.
Так как AOG + GOB = AOB, то
EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).
Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).
Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.
Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.
Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.
Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.
Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:
ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
BCD + DCE = 2d
ACB + BCD = BCD + DCE
откуда, отняв по равному углу BCD, находим
Подобным же образом доказывают, что
Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.
На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.
Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.
Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.
Требуется доказать, что EC ⊥ CF.
Доказательство. По условию
ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD
Сложив эти равенства, имеем:
ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).
Так как ACB + BCD = 2d, то
Так как ECB + BCF = ECF, то
Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).
Что значит вершина угла
Мы знаем, что углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Изображать угол можно и так (не отмечаем точкой общее начало, считаем, что точка есть)
Обозначения угла
На сторонах угла не отмечены точки (только обозначены большими латинскими буквами А и В)
Считается, что буква А обозначает любую точку на верхней стороне угла (по данному рисунку)
Точка В обозначает любую точку на нижней стороне угла (по данному рисунку)
Читаем: угол АОВ
Пишем: 
АОВ
На сторонах угла отмечены и обозначены произвольные точки А и В
Читаем: угол АОВ
Пишем: АОВ
Стороны угла (лучи) обозначены малыми латинскими буквами k и m
Читаем: угол km
Пишем: km
Обозначена только вершина угла
Читаем: угол О
Пишем: 
О
Развернутый угол
Построим прямую АВ и отметим на этой прямой точку О
Лучи ОА и ОВ лежат на одной прямой (являются дополнительными)
Угол АОВ называется развернутым
Угол на плоскости
Изобразим часть плоскости
(так как плоскость бесконечна, мы не можем изобразить ее всю, только часть ее)
Построим на этой плоскости неразвернутый угол
Замечание
Любой угол разделяет плоскость на две части. Названия этих частей ( внутренняя область и внешняя область) применяется для неразвернутого угла.
Если угол развёрнутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла.
Расположение точек относительно угла
По рисунку определим положение отмеченных точек A, B, C, D, K, M
Точки А и В лежат на сторонах угла
Точки D и C лежат вне угла (во внешней области угла)
Точки К и М, лежат внутри угла (во внутренней области угла)
При необходимости мы можем продолжить стороны угла, например, чтобы уточнить положение точки М
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вершина угла что это?
Где находится вершина прямого угла?
Что такое вершина и стороны угла?
Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей и вершины. Вершина угла — это точка, в которой два луча берут начало. Стороны угла — это лучи, которые образуют угол.
Как называется вершина угла?
Что значит стороны угла?
Стороной угла называется луч или отрезок, образующий угол (рис. 1). Стороны угла исходят из одной точки, называемой вершиной угла. Каждый угол имеет две стороны.
Как найти вершину угла?
Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке.
Чему равна высота из прямого угла?
Высота, которую провели из прямого угла на гипотенузу треуг-ка, численно равна среднему геометр-му проекций обоих катетов на эту гипотенузу.
Что называют сторонами треугольника?
В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.
Что значит обозначить вершины?
Вершины принято обозначать заглавными буквами греческого алфавита, например, A, B, C. Задание. Какие из точек на рисунке 1 являются вершинами треугольника? Ответ.
Как правильно обозначать углы в треугольнике?
Что называют сторонами угла вершиной угла?
Углом называтся часть плоскости ограниченная двумя лучами. Сами лучи называются сторонами угла, а общая точка, из которой лучи выходят, называется вершиной угла.
Что значит обозначение угла?
Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон. В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠. Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа.
Что такое градусная мера угла?
Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу. Минута – 1/60 часть градуса. Секунда – 1/60 часть минуты. Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки, которая является началом луча.
Какая фигура называется углом объясните что такое?
Ответ: Угол-это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.
Как обозначать треугольник?
Что бы сравнить два угла?
Вопрос 10: Объясните, как сравнить два угла. Ответ: Наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого угла, а две другие стороны углов оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если две другие стороны углов тоже совместятся, то углы полностью совместятся и они равны.
вершина угла
Смотреть что такое «вершина угла» в других словарях:
Вершина угла — ВЕРШИНА, ы, ж. Самый верх, верхняя часть (горы, дерева и т. п.). В. Казбека. В. сосны. На вершине славы (перен.). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
вершина угла — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN corner point … Справочник технического переводчика
вершина (угла, карьеры) — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN apexap … Справочник технического переводчика
ВЕРШИНА — ВЕРШИНА, вершины, жен. (книжн.). 1. Самая высокая часть чего нибудь. Вершина горы. 2. перен. Высшая степень достижения. Вершина творчества. ❖ Вершина угла (геом.) точка пересечения двух прямых линий, образующих угол. Толковый словарь Ушакова. Д.Н … Толковый словарь Ушакова
ВЕРШИНА — ВЕРШИНА, ы, жен. Самый верх, верхняя часть (горы, дерева и т. п.). В. Казбека. В. сосны. На вершине славы (перен.). • Вершина угла в геометрии: точка пересечения двух лучей (в 3 знач.), образующих угол. | прил. вершинный, ая, ое. Толковый словарь … Толковый словарь Ожегова
вершина — ы; ж. см. тж. вершинный 1) Верхняя, самая высокая часть чего л. (обычно дерева или холма) Верши/на сосны. На вершине холма. * Горные вершины Спят во тьме ночной (Лермонтов) 2) чего книжн. Высшая степень, ступень чего л … Словарь многих выражений
ВЕРШИНА — (1) В. конуса точка пересечения образующих конуса; (2) В. многогранника точка, в кото рой сходятся соседние рёбра многогранника; (3) В. многоугольника точка, в которой сходятся две соседние стороны многоугольника; (4) В. параболы точка… … Большая политехническая энциклопедия
вершина — сущ., ж., употр. часто Морфология: (нет) чего? вершины, чему? вершине, (вижу) что? вершину, чем? вершиной, о чём? о вершине; мн. что? вершины, (нет) чего? вершин, чему? вершинам, (вижу) что? вершины, чем? вершинами, о чём? о вершинах 1. Вершиной… … Толковый словарь Дмитриева
вершина — ы; ж. 1. Верхняя, самая высокая часть чего л. (обычно дерева или холма). В. сосны. На вершине холма. * Горные вершины Спят во тьме ночной (Лермонтов). 2. чего. Книжн. Высшая степень, ступень чего л. В. творческой деятельности. На вершине славы.… … Энциклопедический словарь
вершина треугольника — матем. Точка пересечения сторон угла, противоположного основанию … Словарь многих выражений
