Что значит взаимно обратные матрицы

Обратная матрица

Содержание

Обратимость в алгебре [ править ]

[math]xz=e, \ x[/math] — левый обратный

[math]zy=e, \ y[/math] — правый обратный.

Факт 2. Пусть [math]\exists z^<-1>, \ \tilde^<-1>[/math]

Критерий обратимости матрицы [ править ]

Предположим [math]\exists C: CA=E \Rightarrow \sum\limits_^ \gamma_^\alpha_^=\delta_^[/math]

Свойства обратной матрицы [ править ]

Методы нахождения обратной матрицы [ править ]

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы [ править ]

Пример [ править ]

Найдем обратную матрицу для матрицы

Метод присоединенной матрицы [ править ]

Определение:
Присоединенная(союзная, взаимная) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов исходной матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента [math]\ a_[/math] матрицы [math]\ A[/math] называется число

[math]M_ = det\begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1(j-1)>& a_ <1(j+1)>& \cdots & a_ <1n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ <(i-1)1>& a_ <(i-1)2>& \cdots & a_ <(i-1)(j-1)>& a_ <(i-1)(j+1)>& \cdots & a_ <(i-1)n>\\ a_ <(i+1)1>& a_ <(i+1)2>& \cdots & a_ <(i+1)(j-1)>& a_ <(i+1)(j+1)>& \cdots & a_ <(i+1)n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end[/math]

Источник

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Что значит найти обратную матрицу?

При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория об обратной матрице.

inverse1

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)

inverse2

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

На сайте есть онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы. Вы можете открыть его в новом окне уже сейчас, если держите перед собой ваши собственные задания. А мы разберём несколько разминочных.

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы)

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

, (2)

где — определитель матрицы А, а — матрица, союзная с матрицей А.

Пусть существует квадратная матрица A:

rm023

Остановимся на минорах и алгебраических дополнениях.

Пусть есть квадратная матрица третьего порядка:

rm058.

determinants clip image062

Вычислим алгебраическое дополнение элемента determinants clip image002 0007, то есть элемента 2, стоящего на пересечении первой строки и второго столбца.

Для этого нужно сначала найти минор этого элемента. Он получается вычёркиванием из определителя строки и столбца, на пересечении которых стоит указанный элемент. В результате останется следующий определитель, который и является минором элемента determinants clip image002 0007:

rm059.

determinants clip image064.

По этой инструкции нужно вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы A’, транспонированной относительно матрицы матрица A.

И последнее из значимых для нахождение обратной матрицы понятий. Союзной с квадратной матрицей A называется матрица того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы rm021, транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, союзная матрица состоит из следующих элементов:

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу rm021, транспонированную относительно матрицы A:

rm022

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:

Следовательно, матрица , союзная с матрицей A, имеет вид

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Читайте также:  Что делать с этой штукой

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

rm026,

rm027и rm028.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

rm029

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

rm030

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

rm031.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

rm032.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

rm033.

Разделим третью строку на 8, тогда

rm034.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

rm035.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

rm036.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица rm025. Таким образом:

rm037.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

rm027.

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

rm038

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

rm039

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

rm040.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

rm041.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Нахождение обратной матрицы методом линейных преобразований

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

rm042,

rm043,

3. Находим коэффициенты при y: rm044, которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

rm045.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

rm046.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:

rm047

rm048

Найти обратную матрицу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти обратную матрицу для матрицы

rm049.

Источник

Обратная матрица.

Метод обратной матрицы.

Метод обратной матрицы – это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.

Суть метода обратной матрицы.

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

946558a1eb81870ed7.19497736

Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B,

где 70577458a1eb9dd85a81.31208672– матрица системы,

1614758a1ebb15d2c01.88366339– столбец неизвестных,

09308958a1ebd0441e95.25627945– столбец свободных коэффициентов.

Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0. Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A. Если det A ≠ 0, то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0, то такая система методом обратной матрицы не решается.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы:

Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C.

Нахождение обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы – это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.

Читайте также:  Что же это такое бременские музыканты

Пример нахождения обратной матрицы.

Задание. Для матрицы 6285158a1ec7a5f5653.44829173найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:

9172158a1ec92c04874.53149762

Из 1й строки вычитаем 2ю:

75283258a1eca47f9f39.03805606

От второй строки отнимаем 2 первых:

74314958a1ecb610f2c0.60161015

1ю и 2ю строки меняем местами:

1900958a1ecc8c75833.65143874

От 2й строки отнимаем 2 первых:

97971958a1ecdc301af0.56308613

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке добавляем 2ю:

4798758a1eced1abff5.35103640

Итак, слева имеем единичную матрицу, а, значит, матрица, которая стоит справа, будет обратной к заданной изначально.

Т.о., имеем 1988458a1ed0576eb87.08143445.

Ответ после нахождения обратной матрицы: 1988458a1ed0576eb87.08143445

Замечание. Если на каком-либо этапе в «левой» матрице образуется нулевая строка, значит, что заданная изначально не имеет обратной.

Источник

Нахождение обратной матрицы

Обратную матрицу можно найти с помощью двух ниже описанных методов.

Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Решение. Приписываем к заданной матрице formules 422справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Если на некотором этапе в «левой» матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.

Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Нахождение обратной матрицы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

Источник

Обратная матрица и её свойства

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

rasstanovka indexov v matriceОпределение индексов для клеток матрицы

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

\[\begin & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end\]

\[\begin & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end\]

\[\begin & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end\]

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:

Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

Читайте также:  Что значит безынерционная катушка для спиннинга

Произведение двух чисел равно единице только в том случае, когда каждое из этих чисел отлично от нуля:

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Алгебраические дополнения

Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».

Важное замечание. Вообще-то во «взрослой» математике алгебраические дополнения определяются так:

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end \right]\]

Решение. Проверим обратимость. Посчитаем определитель:

\[\left| A \right|=\left| \begin 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Определитель отличен от нуля. Значит, матрица обратима. Составим союзную матрицу:

Посчитаем алгебраические дополнения:

Итого наша союзная матрица выглядит так:

Осталось посчитать обратную:

Ну вот и всё. Задача решена.

Задача. Найдите обратную матрицу:

Решение. Опять считаем определитель:

Короче, союзная матрица будет выглядеть так:

Следовательно, обратная матрица будет такой:

Ну и всё. Вот и ответ.

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?

В чём прикол? А вот в чём:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=<^<-1>>\]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

Задача. Найдите обратную матрицу:

Решение. Составляем присоединённую матрицу:

Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:

Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.

Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:

Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:

Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:

Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:

Готово! Справа — искомая обратная матрица.

Задача. Найдите обратную матрицу:

Решение. Снова составляем присоединённую:

Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать. и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:

Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:

Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:

Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:

И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная.:)

Ну вот и всё. Проверку сделайте сами — мне в лом.:)

Источник

Adblock
detector