Что значит взаимно перпендикулярные стороны

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема

Дано: 51653АОВ, 51653А1О1В1, ОА51652О1А1, ОВ51652О1В1.

Доказать: 51653АОВ = 51653А1О1В1 или 51653АОВ + 51653А1О1В1 = 180 0 .

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).

51590

Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОА51652О1А1, ОВ51652О1В1, значит, лучи О1А1 и О1В1 также будут лежать на одной прямой, следовательно, 51653А1О1В1 — будет развернутым, тогда 51653АОВ = 51653А1О1В1.

2 случай

Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).

51591

3 случай

Пусть О51654О1А1 (Рис.3).

51592

По условию О51654О1А1, тогда лучи ОВ и О1А1 будут лежать на одной прямой А1В. По условию ОА51652О1А1, ОВ51652О1В1, значит, ОА и О1В1 будут перпендикулярны одной прямой А1В, следовательно, ОА51651О1В1. Итак, ОА51651О1В1, А1В — секущая относительно прямых ОА и О1В1, тогда по теореме о накрест лежащих углах 51653АОВ = 51653А1О1В1, причем, учитывая то, что ОА51652О1А1, ОВ51652О1В1 эти углы будут прямые, т.е. 51653АОВ = 51653А1О1В1 = 90 0 , тогда 51653АОВ + 51653А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

4 случай

Пусть О51654О1В1 (Рис.4).

51593

По условию О51654О1В1, тогда лучи ОА и О1В1 будут лежать на одной прямой В1А. По условию ОА51652О1А1, ОВ51652О1В1, значит ОВ и О1А1 будут перпендикулярны одной прямой В1А, следовательно, ОВ51651О1А1. Итак, ОВ51651О1А1, В1А — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, тогда по теореме о накрест лежащих углах 51653АОВ = 51653А1О1В1, причем, учитывая то, что ОА51652О1А1, ОВ51652О1В1 эти углы будут прямые, т.е. 51653АОВ = 51653А1О1В1 = 90 0 , тогда 51653АОВ + 51653А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

5 случай

Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом О51655О1А1, О51655О1В1 (Рис.5).

51602

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОА51652ОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВ51652ОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

Читайте также:  Что за номер 931 какой регион и оператор сотовой

51642

6 случай

Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом О51655О1А1, О51655О1В1 (Рис.7).

51644

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

51647

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

image004

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Решение

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Читайте также:  Что должен делать невропатолог

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Источник

Взаимно перпендикулярные прямые

poz zad ea

Прямой угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется без искажения, если хотя бы одна из прямых параллельна плоскости проекций.
Найти расстояние от точки A до прямой h. Решение подобной задачи предполагает, что будут построены взаимно перпендикулярные прямые

met preobr 38n

Для того чтобы построить взаимно перпендикулярные прямые, в случае когда одна из них задана прямой общего положения, необходимо перевести ее, предварительно, в положение либо горизонтали, либо фронтали

vzaimno perp pr 4

Здесь построение второй стороны прямого угла выполняется способом перемены плоскости проекции. Вводится новая фронтальная плоскость проекции V1, для которой сторона AB прямого угла есть фронтальная прямая. И тогда прямой угол ABC проецируется на V1 без искажения. Аппликата точки C при перемене плоскости V на V1 остается неизменной и ее пресечение с направлением стороны BC дает положение искомой точки C1. Искомую проекцию C` находим на пересечении линий связи точки C.

Та же задача на взаимно перпендикулярные прямые может быть решена по другим способом

vzaimno perp pr 5

Источник

Что значит взаимно перпендикулярные стороны

Углы бывают острые, прямые и тупые.

6058c4fcfc0691203a35d0ed vwmHagj5rNw%20(1)

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

60b7631e33792aeb8f8f2962 podtyani shkolnyi predmet

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

6058c55200e05d1627824d68 Xq74ZwqOf90%20(1)

На рисунке луч ОС делит развёрнутый AOB =180° на две части, образуя тупой 1 и острый 2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

6058c5df1d9165030f032cd5 dekbJuGkt64%20(1)

Обе стороны 1 также являются сторонами 3, а стороны 2 продолжают стороны 4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

Читайте также:  Что есть ребенку для поднятия гемоглобина

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

6058c6490752ed702dfd0fc5 Ld1jbsP2FJU%20(1)

1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

6058c6cd29492821d63c994e bi4DBzaleRM%20(1)

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

6058ce22f3097484dbb796b8 mObsJ3rNvQY%20(1)

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

5996dbd8ab717100012bc803 shape copy 9

5996dbd8ab717100012bc803 shape copy 9

5996dbd8ab717100012bc803 shape copy 9

615457c63eba5932bf2b77d0 Vector

61545185aadddd79c11c9568 mailbox img

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

6152f4560deb49c32c16e5a3 demo img6152f454acc4017a835befaf demo img mobПопробовать бесплатно

615457c63eba5932bf2b77d0 Vector

61545185aadddd79c11c9568 mailbox img

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

60b70fca15fd827e87e09dfe Frame%2030

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

5e4bdc9fdec349e368cbfd89 insta minПосмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

5eba89001c70e820dcc4109b instagram green

5eba88ff99d623b624496d0f fb green

5eba8901ea94d28905157897 telegram green

5eba88ff05cb7dcaaa7e1f5a footer phone

Звонок по России бесплатный

5eba88ffa1c16c471e527bf7 footer email

5eba88ff5c302433b8acee63 footer geo

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Adblock
detector