Что значит взаимно простые числа

Взаимно простые числа – какие, примеры, определение, таблица (6 класс, математика)

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.

ef2b4b5382feb173a14e4a714a10c5d5

Простые числа

Что такое простое число? Простое число делится только на ноль и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.

Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Взаимно простые числа

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Что мы узнали?

Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.

Читайте также:  Что делать на даче в дождь

Источник

Взаимно простые числа, их свойства

Вы будете перенаправлены на Автор24

Простые и составные числа

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Взаимно простые числа

Попарно взаимно простые

Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми. Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.

Готовые работы на аналогичную тему

Как мы видим, для того, чтобы определить являются ли числа взаимно простыми, необходимо сначала разложить их на простые множители. Обратим внимание на то, как правильно это сделать.

Разложение на простые множители

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Воспользуемся свойством степеней, тогда получим,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Такая запись разложения на простые множители называется канонической, т.е. для того чтобы разложить в канонической форме число на множители необходимо воспользоваться свойством степеней и представить число в виде произведения степеней с разными основаниями

Каноническое разложение натурального числа в общем виде

Каноническое разложение натурального числа в общем виде имеет вид:

Представление числа в виде канонического разложения на простые множества облегчает нахождение наибольшего общего делителя чисел, и выступает как следствие доказательства или определения взаимно простых чисел.

Решение: Разложим числа на простые множества с помощью канонического разложения

Теперь найдем НОД этих чисел, для этого выберем степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени, тогда

$НОД \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Составим алгоритм нахождения НОД с учетом канонического разложения на простые множители.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел с помощью канонического разложения, необходимо:

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$НОД \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 06 2021

Источник

Взаимно простые числа – определение, примеры и свойства.

Информация этой статьи покрывает тему «взаимно простые числа». Сначала дано определение двух взаимно простых чисел, а также определение трех и большего количества взаимно простых чисел. После этого приведены примеры взаимно простых чисел, и показано, как доказать, что данные числа являются взаимно простыми. Дальше перечислены и доказаны основные свойства взаимно простых чисел. В заключение упомянуты попарно простые числа, так как они тесно связаны со взаимно простыми числами.

Навигация по странице.

Взаимно простые числа – определение и примеры

Понятие взаимно простых чисел дается как для двух целых чисел, так и для их большего числа. Сначала приведем определение двух взаимно простых чисел. Это определение дается через наибольший общий делитель чисел, так что рекомендуем сначала разобраться с материалом указанной статьи.

Читайте также:  Чем украсить свадебный торт сверху

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример, иллюстрирующий это высказывание.

Часто встречаются задания, в которых требуется доказать, что данные целые числа являются взаимно простыми. Доказательство сводится к вычислению наибольшего общего делителя данных чисел и проверке НОД на его равенство единице. Полезно также перед вычислением НОД заглянуть в таблицу простых чисел: вдруг исходные целые числа являются простыми, а мы знаем, что наибольший общий делитель простых чисел равен единице. Рассмотрим решение примера.

Докажите, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

Из озвученного определения следует, что если некоторый набор целых чисел имеет положительный общий делитель, отличный от единицы, то данные целые числа не являются взаимно простыми.

Обычно далеко не очевидно, что некоторые числа являются взаимно простыми, и этот факт приходится доказывать. Для выяснения, являются ли данные числа взаимно простыми, приходится находить наибольший общий делитель этих чисел, и на основании определения взаимно простых чисел делать вывод.

Источник

Что значит взаимно простые числа

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются взаимно простыми, и научитесь их определять.

Итак, что подразумевается под понятием «взаимно простые числа»?

Рассмотрим два натуральных числа 25 и 26. Это составные числа.

Натуральное число 25 делится без остатка на 1, 5, 25.

А натуральное число 26 делится без остатка на 1, 2, 13, 26.

Видим, что числа 25 и 26 имеют только один общий делитель – это число 1.

Такие числа называют взаимно простыми.

Таким образом, можно сделать вывод:

Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Даны пары натуральных чисел 14 и 28, 15 и 22.

Определим, какие из данных пар являются взаимно простыми.

Для этого необходимо определить, какие делители имеет каждое из чисел.

14 без остатка делится на 1, 2, 7, 14;

28 без остатка делится на 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Теперь рассмотрим другую пару чисел 15 и 22.

Значит, пара натуральных чисел 15 и 22 являются взаимно простыми числами.

Теперь возьмем еще два составных натуральных числа 45 и 32.

Натуральное число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Читайте также:  Чему учит былина вольга святославович и микула

Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми.

Разложим эти числа на простые множители. 45=3*3*5, 32=2*2*2*2*2.

Легко заметить, что взаимно простые натуральные числа 45 и 32 в разложении на простые множители не содержат одинаковых простых множителей.

Таким образом, приходим к выводу, что разложения на простые множители взаимно простых чисел не содержат одних и тех же простых множителей.

Итак, в этом уроке Вы узнали, какие числа называются взаимно простыми, а также научились определять взаимно простые числа.

Источник

Взаимно-простые числа

Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.

Содержание

Связанные определения

Примеры

Свойства

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Взаимно-простые числа» в других словарях:

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Большой Энциклопедический словарь

взаимно-простые числа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN relative prime … Справочник технического переводчика

Взаимно простые числа — Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5). Наглядное представление: если на плоскости построить… … Википедия

взаимно простые числа — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; например, 15 и 16. * * * ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Энциклопедический словарь

Взаимно простые числа — несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и 1. Если каждое из этих чисел взаимно просто с каждым другим из них, то говорят, что числа попарно простые (для двух чисел оба понятия совпадают).… … Большая советская энциклопедия

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Простые числа — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Простые множители — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Попарно взаимно просты — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также … Википедия

Источник

Adblock
detector