Что значит взаимное расположение точек и прямых 7 класс

Основные понятия геометрии. Понятие точки, прямой и плоскости

Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.

К основным понятиям геометрии относятся точка, прямая и плоскость, они даются без определения, но определения других геометрических фигур даются через эти понятия.

Прямая и плоскость безграничны, поэтому на чертеже изображают часть.

Точка – это самая простая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Всякая более сложная геометрическая фигура – это множество точек, обладающих определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Прямую можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком (или отрезком прямой). Основное свойство отрезка – это его длина. Длина отрезка – это расстояние между его концами. Измерить отрезок – это значит установить его длину в определенных единицах. Основные единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км).

Отрезок изображается так:

Луч – это направленная полу прямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два противоположно направленных луча. Такие лучи называются дополнительными.

Плоскость, как и прямая, – это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, невозможно увидеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную геометрическую фигуру:

Взаимное расположение прямой и точки

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости:

– либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку);

– либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Аксиома – это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.

Основные свойства принадлежности точек и прямых

Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости

Основные свойства измерения отрезков

Основные свойства откладывания отрезков

Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы.

Источник

На уроках математики в предыдущих классах и в главе 1 вы уже познакомились со свойствами некоторых геометрических фигур. Теперь вы приступаете к систематическому изучению геометрии.

Как уже отмечалось ранее, основными геометрическими фигурами являются точка, прямая, плоскость. Представление об этих фигурах вы уже имеете.

Например, туго натянутая нить дает представление о части прямой, страница книги или грань прямоугольного параллелепипеда — о части плоскости (рис. 22, а, б, в).
101765

Если точка А принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b проходит через точку А. Это записывают так: А 101774

Если точка А не принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b не проходит через точку А. В этом случае используется запись А 101779 b (читают: «Точка А не принадлежит прямой b», «Точка А не лежит на прямой b» или «Прямая b не проходит через точку А»).

Например, на рисунке 23, а изображены точка С — вершина квадрата и точка Т, не лежащие на прямой l (С 101797 l, Т 101798 l), проходящей через вершины А и D квадрата (А 101819 l, D 101820 l). На рисунке 23, б, в изображена прямая l, проходящая через вершины О и F куба (O 101819 l, F 101820 l).
101826

В курсе геометрии понятия « точка», « прямая» и «плоскость» относятся к основным понятиям и принимаются без определений, другие геометрические понятия определяются через основные. К основным понятиям относятся также понятия «принадлежать» и «лежать между». Свойства геометрических фигур устанавливаются путем логических рассуждений на основе некоторых утверждений (аксиом), которые принимаются без доказательств. Аксиомы выражают основные свойства геометрических фигур, которые соответствуют формам и отношениям, наблюдаемым в окружающем пространстве.

Утверждение, которое обосновывается путем логических рассуждений, называется теоремой, а само обоснование — доказательством. Доказать теорему — это значит путем рассуждений обосновать, что она следует из некоторых аксиом или ранее доказанных теорем.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости характеризуют следующие основные свойства (аксиомы):

Прямая, которая проходит через точки А и В, обозначается АВ или ВА.

Например, на рисунке 24, а изображена прямая ОF, которая проходит через точки О и F, а на рисунке 24, б, в показана прямая АС, которая проходит через вершины А и С куба и лежит в той же плоскости, что и грань АВСD куба.

Читайте также:  Чем различаются паст симпл и паст континиус

101839

1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти точки, прямые и т. д. различны.

Пересекающиеся и параллельные прямые

Рассмотрим понятия пересекающихся и параллельных прямых.

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Если прямые а и b пересекаются в точке О, то это обозначается так: О = а 101842 b (читают: «Прямые а и b пересекаются в точке О»).

Например, на рисунке 25, а изображены прямые КЕ и TF, которые проходят через вершины прямоугольника и пересекаются в точке Р (Р =TF 101842КЕ).

На рисунке 25, B изображены прямые АС и BD, которые проходят через вершины куба и пересекаются в точке О (О = АС 101843ВD).

101844

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельные прямые l1 и l2 обозначаются так: l1 101846l2 (читают: «Прямая l1 параллельна прямой l2 »).

Например, на рисунке 25, в изображены параллельные прямые ВС и АD (ВС101846АD).

Теорема. Если две прямые плоскости имеют общую точку, то она единственная.

Пусть две прямые а и b имеют общую точку О. Докажем, что других общих точек эти прямые не имеют. Допустим, что прямые а и b имеют еще одну общую точку O1. Тогда получается, что через точки O и O1 проходят две прямые а и b. Но этого быть не может, так как по аксиоме А3 через две точки проходит единственная прямая. Таким образом, наше предположение неверно, и прямые а и b имеют единственную общую точку.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Прямая на плоскости – необходимые сведения

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

image004

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

image011

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

image013

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

image014

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

image015

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Читайте также:  Что делать если хочется написать бывшему

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

Рассмотрим это на рисунках.

image016

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. image017

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

image018

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

image019

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

image020 yIK1LdF

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Источник

Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение точки и прямой

Базовыми геометрическими элементами являются точка, прямая и плоскость. Они называются так потому, что из них можно построить многие объекты, например, такие как пирамида или призма. Чтобы понять свойства этих фигур, важно знать взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей. Рассмотрим подробнее этот вопрос в статье.

Определение и описание точки, прямой и плоскости

0b345908f4d0b780cd013a3960b8b71e

fb103462e56844a5040f9e4dd3ffbf44 Вам будет интересно: Пополняем словарный запас: неказистый — это.

ce2d43271bcb1ff3050a34ed0d247088 Вам будет интересно: «Соразмерно» — это и «в рамках», и «гармонично»

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)

Элементы с нулевыми индексами соответствуют некоторой точке, которая является частью прямой. Координаты, которые умножаются на параметр α (альфа) описывают ее направляющий вектор, вдоль которого она проходит. Подставляя произвольные числа α можно найти все точки, которые образуют прямую в пространстве.

Очевидно, что для векторного уравнения в двумерном пространстве необходимо использовать лишь две координаты для точек и векторов.

Плоскость является совокупностью точек. Образованные на них вектора перпендикулярны некоторому направлению, задаваемому нормальным к плоскости вектором. Все это можно описать несколькими способами. Тем не менее, для решения задач на определение взаимного расположения плоскости и прямой удобно пользоваться уравнением общего вида. Оно записано ниже:

Удобство этой формы записи заключается в том, что коэффициенты A, B, C являются координатами перпендикулярного вектора n¯ к плоскости.

При решении задач важно учитывать, в каком пространстве решается проблема. Так, приведенный вид уравнения плоскости в двумерном случае без координаты z будет соответствовать уравнению прямой.

Расположение точки и прямой

0784b4be6df6b1e3b4909483c11efab7 Вам будет интересно: Обзор основных вузов Сургута

Взаимное расположение этих объектов не зависит от того, рассматриваются они на плоскости или в пространстве. Критерии определения постоянно одни и те же.

Относительно прямой точка может находиться лишь в двух возможных положениях:

Определить вариант расположения в конкретной задаче достаточно легко. Для этого следует подставить координаты искомого объекта в уравнение, задающее прямую. Если равенство будет выполняться, значит, точка принадлежит прямой. В противном случае она не является ее частью.

Две прямые на плоскости

88a71a0d2530e49337e4b8fb9ce3dbe6

Какое может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? Существует три разных варианта:

Чтобы понять, каково взаимное расположение прямых в конкретном случае, необходимо провести некоторый математический анализ. Ниже описываются основные идеи, которые следует использовать при его осуществлении.

Если направляющие векторы прямых параллельны друг другу, значит и прямые, как минимум, будут параллельными. Параллельность векторов доказывается, если один из них можно представить в виде другого, умноженного на действительное число.

Если направляющие вектора параллельны, и хотя бы одна точка одной прямой соответствует и другой прямой, тогда речь идет о полностью совпадающих прямых.

Если направляющие вектора не являются параллельными, то прямые пересекаются в одной точке. Найти ее координаты можно с помощью решения системы уравнений (эти координаты должны соответствовать обоим уравнениям прямых).

1de752fa854bddd50daf30f63c380161

Частным случаем пересечения прямых является угол пересечения, равный 90o. В таком случае говорят о перпендикулярности между рассматриваемыми объектами. Если две прямые перпендикулярны, то скалярное произведение их векторов направляющих будет равно нулю.

Читайте также:  Что должен иметь огнетушитель установленный на объекте защиты

Прямая и окружность на плоскости

Поскольку данный объект часто появляется в геометрических задачах, то полезно также рассмотреть вопрос взаимного расположения окружности и прямой. Возможны такие варианты:

2a6f2a31a76a5a6da4f852e547e8ff0b

Определить вариант расположения этих объектов для конкретной задачи можно с использованием соответствующих уравнений. Для окружности с центром в (x0; y0) и радиусом R оно имеет вид:

Определение варианта расположения сводится к решению квадратного уравнения.

Две прямые в пространстве

d66323ca942a839641d01df892c6cb56

Расчет расстояния производится по формуле:

Формулу можно непосредственно применить, если даны векторные уравнения прямых.

Плоскость и прямая

a79b2f2872682555f1172dbdf3e73435

В данном случае речь идет о трехмерном пространстве. Взаимное расположение плоскости и прямой возможно следующее:

Определить параллельность этих геометрических объектов достаточно просто. Для этого нужно рассчитать скалярное произведение нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой. Равенство нулю этого произведения является достаточным условием параллельности. Если к тому же хотя бы одна точка принадлежит плоскости, значит, вся прямая лежит в ней.

Если скалярное произведение нулю не равно, тогда вывод следующий. Прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Частным случаем является пересечение под прямым углом. Если направляющий вектор прямой можно представить в виде произведения на число вектора нормали к плоскости, значит, прямая и плоскость перпендикулярны.

c737c9dda94504d648cd28d513892ba3

Задача с двумя прямыми на плоскости

Ниже даны два уравнения в общем виде для прямых в двумерном пространстве:

Необходимо определить взаимное расположение прямых.

Поскольку имеет место случай на плоскости, то нет необходимости приводить эти уравнения к векторному виду. Решить задачу можно проще, если найти корни системы из этих них. Имеем:

Поскольку система имеет единственное решение, то оно соответствует пересечению рассматриваемых прямых в точке (14; 21).

Задача с двумя прямыми в пространстве

Даны две прямые, которые описываются уравнениями:

Каково взаимное расположение прямых в пространстве?

Можно заметить, что направляющие вектора параллельными не являются (никакое значение параметра β не способно дать направляющий вектор r1). То есть прямые либо пересекаются, либо являются скрещивающимися.

Его векторное произведение с направляющим вектором для r1 равно:

Поскольку длина этого вектора отлична от нуля, значит, расстояние между прямыми будет больше нуля. Последний факт говорит, что они не имеют общих точек и являются скрещивающимися.

Источник

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

straight line and points

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

straight line

straight line named a

straight line named a with points

points outside line

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

lines do not intersect

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

relative position lines no points

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

line through point

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

relative position lines no points

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

relative position lines one common point

Третий случай расположения прямых

one line through 2 points

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

intersect two lines

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

intersect three lines

intersect three lines more points

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

line segment

line segment without tails

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Adblock
detector