Что значит взаимное расположение
Научная электронная библиотека
Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,
3.4. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
.
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
.
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
.
Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости
Существует три варианта взаимного расположения двух прямых в пространстве: прямые могут
быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. Изучение этих положений необходимо в начертательной геометрии.
Пересекающиеся прямые
Две различные (то есть не совпадающие) прямые, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.
Если две прямые имеют две общие точки, то они совпадают.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
На рисунке изображены прямые a и b, которые пересекаются в точке А. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, причем только одна.
Параллельные прямые
На плоскости прямые параллельны, если они не пересекаются. То есть главный признак — это отсутствие общих точек. Однако для параллельности в пространстве этого условия недостаточно.
Две прямые в пространстве параллельны, если они обе лежат в одной плоскости и не пересекаются. Два отрезка, лежащие на параллельных прямых, также параллельны.
На рисунке a || b, через них проходит единственная плоскость.
Две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.
В виде формулы это выглядит так: a||b, b||c ⇒ a||c.
Скрещивающиеся прямые
Через две пересекающиеся или параллельные прямые можно провести плоскость, и притом единственную. Возможна также ситуация, когда через две прямые плоскость провести нельзя.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются.
Другими словами, две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости, так как прямые, лежащие в одной плоскости, обязательно будут либо пересекаться, либо параллельны.
Прямые a и b на рисунке скрещиваются. Важно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости. Причем это единственная пара плоскостей.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые — скрещивающиеся.
Доказательство:
Пусть a и b — прямые, b лежит в плоскости π, a пересекает плоскость π в точке A. А не принадлежит прямой b. Используем метод доказательства от противного. Предположим, что прямые a и b лежат в одной плоскости. В этом случае данная плоскость проходит через прямую b и точку А, то есть она совпадает с плоскостью π.
Прямая a не может одновременно находиться в плоскости π и пересекать ее в одной точке, как дано по условию. Теорема доказана.
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство:
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CЕ.
Полуплоскости. Сонаправленные лучи
Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости.
Лучи называют сонаправленными, если они лежат в одной полуплоскости и параллельны.
Параллельные и лежащие в разных полуплоскостях лучи не являются сонаправленными. На рисунке лучи MN и \(M_1N_1 \) — сонаправленные, а MN и \(M_2N_2, M_1N_1\) и \(M_2N_2\) — параллельны, но не сонаправлены.
Два угла равны, если две их стороны соответственно сонаправлены.
Доказательство:
Приведем доказательство для углов, лежащих в разных плоскостях. Изобразим ∠А и \(∠А_1 \) на чертеже.
Угол между прямыми
Свойство пересекающихся прямых
Если две любые прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, то они образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла. Углом между прямыми называют тот из углов, который не больше любого из трех остальных, очевидно, что он больше 0° и меньше либо равен 90°.
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными заданным скрещивающимся прямым.
Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD равен \(∠А_1СD\) между \(А_1В_1\) и СD, если \(АВ||А_1В_1.\)
Научная электронная библиотека
Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,
3.4. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
.
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
.
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
.
Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости
Существует три варианта взаимного расположения двух прямых в пространстве: прямые могут
быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. Изучение этих положений необходимо в начертательной геометрии.
Пересекающиеся прямые
Две различные (то есть не совпадающие) прямые, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.
Если две прямые имеют две общие точки, то они совпадают.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
На рисунке изображены прямые a и b, которые пересекаются в точке А. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, причем только одна.
Параллельные прямые
На плоскости прямые параллельны, если они не пересекаются. То есть главный признак — это отсутствие общих точек. Однако для параллельности в пространстве этого условия недостаточно.
Две прямые в пространстве параллельны, если они обе лежат в одной плоскости и не пересекаются. Два отрезка, лежащие на параллельных прямых, также параллельны.
На рисунке a || b, через них проходит единственная плоскость.
Две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.
В виде формулы это выглядит так: a||b, b||c ⇒ a||c.
Скрещивающиеся прямые
Через две пересекающиеся или параллельные прямые можно провести плоскость, и притом единственную. Возможна также ситуация, когда через две прямые плоскость провести нельзя.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются.
Другими словами, две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости, так как прямые, лежащие в одной плоскости, обязательно будут либо пересекаться, либо параллельны.
Прямые a и b на рисунке скрещиваются. Важно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости. Причем это единственная пара плоскостей.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые — скрещивающиеся.
Доказательство:
Пусть a и b — прямые, b лежит в плоскости π, a пересекает плоскость π в точке A. А не принадлежит прямой b. Используем метод доказательства от противного. Предположим, что прямые a и b лежат в одной плоскости. В этом случае данная плоскость проходит через прямую b и точку А, то есть она совпадает с плоскостью π.
Прямая a не может одновременно находиться в плоскости π и пересекать ее в одной точке, как дано по условию. Теорема доказана.
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство:
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CЕ.
Полуплоскости. Сонаправленные лучи
Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости.
Лучи называют сонаправленными, если они лежат в одной полуплоскости и параллельны.
Параллельные и лежащие в разных полуплоскостях лучи не являются сонаправленными. На рисунке лучи MN и \(M_1N_1 \) — сонаправленные, а MN и \(M_2N_2, M_1N_1\) и \(M_2N_2\) — параллельны, но не сонаправлены.
Два угла равны, если две их стороны соответственно сонаправлены.
Доказательство:
Приведем доказательство для углов, лежащих в разных плоскостях. Изобразим ∠А и \(∠А_1 \) на чертеже.
Угол между прямыми
Свойство пересекающихся прямых
Если две любые прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, то они образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла. Углом между прямыми называют тот из углов, который не больше любого из трех остальных, очевидно, что он больше 0° и меньше либо равен 90°.
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными заданным скрещивающимся прямым.
Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD равен \(∠А_1СD\) между \(А_1В_1\) и СD, если \(АВ||А_1В_1.\)
Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей с примерами
Содержание:
Взаимное расположение точки и прямой:
Возможны два варианта расположения точки относительно прямой:
Взаимное расположение прямых
Прямые в пространстве могут занимать друг к другу одно из трех положений:
Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А. Причем фронтальная 
и горизонтальная 
проекции этой точки должны находиться на одной линии связи. 
Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.
Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.
На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b, а точка D на прямой а. Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций.
Плоскость. Способы ее задания, положение относительно плоскостей проекций
Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено:
Всегда от одного способа задания плоскостей можно перейти к другому.
След плоскости – это линия пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.
Соответственно различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.
Плоскостью общего положения называется плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.
Плоскостями частного положения относительно плоскостей проекций называются плоскости параллельные или перпендикулярные им.
Плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций называется проецирующей плоскостью.
Существует три вида проецирующих плоскостей: горизонтально- проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая плоскости. Такие плоскости вырождаются в прямую линию (след плоскости) на ту плоскость проекций, к которой они перпендикулярны.
2. Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.
3. Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.
Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.
Существует три вида плоскостей уровня: горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости уровня.
1. Горизонтальная плоскость – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций.
3. Профильная плоскость – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций.
Принадлежность прямой и точки плоскости
Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.12).
Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.
На рис. 3.12 изображена плоскость 
и точки D и Е. Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой 
имеющей с этой плоскостью две общие точки – 1 и А. Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости. На рис. 3.13. показана плоскость 
и прямая t, лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой..
Взаимное расположение прямой и плоскости
Для прямой и плоскости возможны три случая их взаимного расположения:
Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.
Этот признак параллельности прямой и плоскости хорошо известен из курса стереометрии.
Взаимное расположение плоскостей
Плоскости по отношению друг к другу могут занимать два положения: быть параллельными или пересекаться.
Плоскости параллельны, если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости
Если две плоскости не параллельны, то они обязательно пересекаются и результатом их пересечения является прямая.
Для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям, или одну общую точку, если известно направление линии пересечения.
Направление линии пересечения известно в том случае, если:
Общая точка для двух пересекающихся плоскостей в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости частного положения, также пересекающей заданные плоскости по прямой (рис. 3.12).
Рассмотрим сначала частные случаи пересечение двух плоскостей:
1. Пересекаются плоскость общего положения 
горизонтально- проецирующая плоскость 
заданная следом.
2. Пересекаются плоскости общего положения заданные следами.
В этом случае следы плоскости пересекаются в пределах чертежа, следовательно, линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, являющимся следами линии пересечения, которые находятся в точках пересечения одноименных следов плоскостей.
Рассмотрим общий случай пересечения плоскостей:
3. Пересекаются плоскости общего положения.
Определение видимости на КЧ
Для улучшения наглядности изображений, заданных на КЧ, принято видимые для наблюдателя линии показывать сплошными, а невидимые штриховыми линиями. При этом предполагается, что:
Даны две пары точек:
Необходимо определить видимость точек относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.
Если на КЧ какие-либо две проекции точек совпадают, то для наблюдателя будет видима та точка, проекция которой на КЧ находится дальше от оси проекций.
Точки А и В, С и D называются точками, конкурирующими в видимости, а сам метод определения видимости – метод конкурирующих точек.
Конкурирующими в видимости точками называются точки, лежащие на одном проецирующем луче, но принадлежащие разным геометрическим объектам.
Пересечение прямой с плоскостью
Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости,
1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения.
На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.
В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости 
Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой:
Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача).
В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:
Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
