Что значит взаимообратные числа

Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно единице:

vzaimno obratnye chisla

Обратное число к данному числу — это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p — это число, обратное числу q, а число q — это число, обратное числу p:

Как находить обратные числа

Если взять обыкновенную дробь и перевернуть её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.

Возьмём дробь vzaimno obratnye chisla2и перевернём её, получится дробь vzaimno obratnye chisla3:

vzaimno obratnye chisla4

Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:

vzaimno obratnye chisla5

Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби vzaimno obratnye chisla6, затем «перевернём» эту дробь, получится дробь vzaimno obratnye chisla7.

Из сказанного следует, что:

Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

Найдём обратное число для vzaimno obratnye chisla8:

vzaimno obratnye chisla9

vzaimno obratnye chisla10

Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:

vzaimno obratnye chisla11

vzaimno obratnye chisla12

Для единицы обратным числом является сама единица, так как:

Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.

Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.

Источник

Урок 17 Бесплатно Взаимно обратные числа

В этом уроке мы узнаем, какие числа называются взаимно обратными, как найти число, обратное данному, а также разберем все эти случаи для смешанных чисел.

est

Взаимно обратные числа

Введем определение: взаимно обратными числами называются такие два числа, произведение которых равняется единице.

6 17 6 17 1

То есть, если имеются две обыкновенных дроби, каждую из которых нельзя сократить, то необходимо ответить на вопрос: являются ли они взаимно обратными? Для этого достаточно проверить два равенства:

6 17 6 17 2

Можно не запоминать что с чем сравнивать. Если начнем записывать выражение для произведения, то заметим, что в случае взаимно обратных чисел числители и знаменатели сократятся, и результатом будет единица.

Перед сравнением важно, чтобы дроби уже были сокращены!

Допустим, имеются две дроби: \(\mathbf<\frac<2><3>>\) и \(\mathbf<\frac<6><4>>\)

Если к ним просто применить признак и сравнить по отдельности числитель первой дроби с знаменателем второй и наоборот, то мы заменим, что равенства не выполняются. Но, если их перемножить, мы заметим, что произведение равняется 1, следовательно, они являются взаимно обратными.

Итак, имеются два способа проверить, являются ли числа взаимно обратными.

Пример 1

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<3><2>>\) взаимно обратными?

Воспользуемся вторым способом. Как можно заметить, дроби уже сокращены.

Пример 2

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<5><2>>\) взаимно обратными?

Воспользуемся первым способом.

В процессе умножения все множители в числителе и знаменателе сократились и результатом произведения оказалась единица.

Значит \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<5><2>>\) являются взаимно обратными.

Рассмотрим еще один момент.

Допустим, нас просят проверить, являются ли взаимно обратными два числа, одно из которых является обыкновенной дробью, а второе натуральным числом.

В таком случае нам достаточно представить натуральное число в виде дроби, у которой числитель будет равняться данному натуральному числу, а знаменатель единице.

Дальше можно действовать одним из двух разобранных способов.

Пример 3

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><126>>\) и 63 взаимно обратными?

Представим 63 как обыкновенную дробь.

Далее воспользуемся вторым способом.

Теперь сравним числитель первой дроби со знаменателем второй: единица равна единице.

Сравним знаменатель первой дроби с числителем второй: 63 равно 63

Делаем вывод, что числа \(\mathbf<\frac<2><126>>\) и 63 являются взаимно обратными.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Взаимно обратные числа

Урок 16. Математика 6 класс

20210413 vu tg sbscrb2

16

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Читайте также:  Чем проявить номер двигателя

Получите невероятные возможности

20210706 unblock slide1

20210706 unblock slide2

20210706 unblock slide3

Конспект урока «Взаимно обратные числа»

Сегодня на уроке мы познакомимся с новым для вас понятием «взаимно обратные числа» и научимся определять обратные числа данным.

Давайте умножим дробь image001на дробь image002.

image003

После сокращения мы получим image004.

Говорят, что число image002обратно числу image001.

Произведение image005также равно единице.

image006

Поэтому число image001обратно числу image002.

Числа image001и image002взаимно обратны.

Найдём произведение чисел 8 и image007, 1 image008и image009.

image010

Числа 8 и image007, 1 image008и image009также взаимно обратны.

Что общего вы заметили в этих примерах, кроме того, что пары этих чисел называют взаимно обратными. Правильно! Произведение этих чисел равно 1.

Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными.

С помощью букв взаимно обратные числа можно записать так:

image011

И это можно проверить:

image012

Если одно из двух взаимно обратных чисел – правильная дробь, то другое обязательно неправильная дробь.

Число 1 взаимно обратно самому себе, а число 0 не имеет обратного себе числа.

Значит, чтобы выяснить, являются ли два числа взаимно обратными, их надо перемножить.

image013

Если ответ равен единице, то числа – взаимно обратные.

Запомним несколько полезных правил:

Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:

1) Если число натуральное нужно представить его в виде дроби и перевернуть (поменять местами числитель и знаменатель).

image014

2) Если число обыкновенная дробь нужно дробь перевернуть, а затем выделить целую часть.

image015

3) Если число смешанное нужно представить его в виде неправильной дроби, затем перевернуть.

image016

4) Если число десятичная дробь нужно представить его в виде дроби, затем перевернуть и выделить целую часть.

image017

Найдите обратное число данному.

image018

Из пар чисел представленных на экране выберите взаимно обратные:

image019

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с взаимно обратными числами и научились находить обратное число данному.

Источник

Основные сведения о взаимно обратных числах в математике

Что такое обратное число

На уроках алгебры в средних классах школы ученики узнают массу математических закономерностей. Например, при умножении или делении некого числа на единицу получается то же самое число.

Единица является нейтральным элементом для действий умножения и деления. Симметричными числами называют такие числа, результатом умножения которых является единица. Например:

Пару чисел можно назвать взаимно обратными, когда при умножении они дают единицу.

Обратным числом к данному числу является такое, результат произведения которого с данным числом равен единице.

Рассмотрим взаимно обратные числа а и b:

Допустима и такая формулировка: если число а обратно числу b, то число b является обратным числу а.

Зная, что при умножении единицы на единицу результат равен единице, можно сделать вывод о том, что 1 и 1 являются взаимно обратными.

Взаимно обратные числа:

log 3 15 и log 15 3

Понятие взаимно обратных чисел распространяется на следующие множества чисел:

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Взаимно обратные числа — это пара чисел, которые при умножении дают единицу.

Взаимно обратные числа:

4 7 × 7 4 = 4 × 7 7 × 4 = 28 28 = 1

В этом примере записаны два дробных числа. Заметим, что если поменять числитель и знаменатель местами в первой дроби, то получится вторая дробь. Таким способом можно определить взаимообратную дробь для заданной дроби.

Для проверки результата необходимо умножить начальную дробь на полученное дробное число. В том случае, когда в результате получается единица, действие по поиску обратного числа выполнено верно.

Далее рассмотрим метод определения обратного числа для некоторого натурального числа. К примеру, имеется число 15. Если записать его в виде дроби, то получим:

Если поменять местами числитель и знаменатель этой дроби, то в результате получается дробь:

Число, которое является обратным данному натуральному числу, представляет собой результат деления единицы на это натуральное число.

Алгоритм нахождения обратного числа для смешанного числа:

Попробуем вычислить обратное число для числа 2 2 3 :

2 2 3 = 2 × 3 + 1 3 = 7 3

Проверим полученный результат путем умножения полученных чисел:

7 3 × 3 7 = 7 × 3 3 × 7 = 21 21 = 1

Найти число, которое является обратным для некой десятичной дроби можно аналогичным методом, как и в случае смешанного числа. Рассмотрим наглядный пример:

Читайте также:  Что делать если человек сумасшедший

4 10 × 10 4 = 4 × 10 10 × 4 = 40 40 = 1

Обратное число для единицы равно единице:

Нуль не имеет обратного числа. Это связано с отсутствием возможности умножить нуль на какое-либо число, чтобы в результате получилась единица.

Таким образом, это значит, что для любого числа, за исключением нуля, существует обратное число.

Взаимно обратные числа со степенями

Предположим, что имеется некое число, равное определенной степени числа а (число а, возведенное в степень со значением b). В таком случае, обратными являются следующие числа:

В качестве примера определим число, являющееся обратным для числа

Исходя из правила, согласно которому нужно находить обратное число, искомым числом является:

Взаимно обратные числа с корнями

Попробуем определить, являются ли данные числа взаимно обратными. Для этого умножим их:

В результате получилась единица. Известно, что произведение взаимно обратных чисел равно 1. Можно сделать простой вывод о том, что данные числа являются взаимно обратными.

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

При разборе темы взаимно обратных чисел невозможно обойтись без специальной теоремы. В ней идет речь о сумме взаимно обратных чисел.

При сложении пары положительных чисел, которые являются взаимно обратными, получается число больше или равное 2.

Попробуем доказать записанную теорему. Зная, что среднее арифметическое положительных чисел а и b в любом случае будет больше или равно среднему геометрическому данных чисел, можно записать справедливое неравенство:

Подставим в выражение вместо b число, которое является обратным а. Тогда неравенство примет следующий вид:

Попробуем решить наглядный пример. Предположим, что даны два обратных числа, требуется вычислить их сумму:

Найдем сумму данных чисел:

В результате получилось число, которое > 2.

Источник

Взаимно обратные числа

5fea293bbff11928893851

Определение взаимно обратных чисел

С предыдущих уроков математики мы знаем: если прибавить или вычесть из числа нуль — оно не изменится. Точно также, если умножить или разделить число на единицу.

Ноль — нейтральный элемент для сложения и вычитания. При этом числа, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.

Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Поэтому симметричными называют числа, чье произведение дает единицу.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Обратное число к данному числу — это такое число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.

5fea293d05154103009391

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение двух единиц равно 1, то по определению числа 1 и 1 — взаимно обратные.

5fea293c70c72848390670

Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.

Как найти число, обратное данному числу

Иногда число, обратное данному числу, очевидно. Так бывает с натуральными числами и обыкновенными дробями. В других случаях приходится проводить вычисления. Например, с иррациональными и комплексными числами.

Рассмотрим каждый отдельный случай нахождения числа, обратного данному числу.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.

Чтобы это проверить, выполним умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — получим 1. Значит дроби a/b и b/a — взаимно обратные числа.

Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.

Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, обратное данной обыкновенной дроби без каких-либо вычислений.

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно записать натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.

Читайте также:  Что за прыщи на шее и чешутся

Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Значит n и 1/n — взаимно обратные числа.

Отдельно отметим число, обратное натуральному числу 1. Число, обратное единице, это единица. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Найти число, обратное смешанному числу

Напомним, что смешанное число выглядит так: A b/c. Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, а уже после найти число, обратное этой дроби. Как это работает рассмотрим на примере.

Пример

Найти число, обратное смешанному числу 5fea293c2f8e7324244122

Сначала выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь:

5fea298085313485950245

Число, обратное дроби 65/9, есть дробь 9/65. Поэтому, смешанному числу 5fea293c2f8e7324244122обратно число 9/65.

Ответ: 5fea293c2f8e7324244122и 9/65 взаимно обратные числа.

Найти число, обратное десятичной дроби

Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Поэтому найти число, обратное конечной или периодической десятичной дроби, можно через поиск числа, которое обратно обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.

Пример 1

Найти число, которое обратно десятичной дроби 5,128.

Переведем конечную десятичную дробь в обыкновенную:

5fea29e92b888824745341

Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641. Это и есть решение задачи.

Пример 2

Какое число является обратным для периодической десятичной дроби 2,(18)?

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:

5fea293ce65d3002844125

Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, числом, обратным исходной десятичной дроби 2,(18), является дробь 11/24.

Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, которые обратны им, также записывают в виде дробных выражений.

Например, иррациональному числу 5fea29ea118fa139080703обратно число 5fea29803d3e9104726757, а иррациональному числу 5fea2980bff9b609245023обратно число 5fea29e987633960124374

Взаимно обратные числа с корнями

Важно запомнить, что вид взаимно обратных чисел может отличаться от a и 1/a. Поэтому нужно быть внимательным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Рассмотрим на примере, как это бывает.

Пример

Вычислим произведение этих чисел:

Так как в ответе мы получили единицу и мы знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, значит эти числа можно назвать взаимно обратными.

Ответ: да, число взаимно обратны.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, которое равно какой-то степени числа a. То есть, число a возведено в степень b. Обратным числу ab будет число a-b. Проверим.

5fea293c87dab294469278

Пример

Взаимно обратные числа с логарифмами

У логарифма числа a по основанию b обратное число равно логарифму числа b по основанию a. То есть log b a и log a b — взаимно обратные числа.

Действительно, из свойств логарифма следует, что 5fea293cd04c9203570644

, откуда log b a * log a b = 1.

Пример

Записать число, которое обратно логарифму числа 3 по основанию 5fea293c4c32b310840489

Число, обратное числу 5fea29ea42dfc040427729, выглядит так: 5fea29801b87b794320034

Ответ: 5fea29801b87b794320034

Найти число, обратное комплексному числу

Сейчас узнаем, как находить число, обратное комплексному числу z.

Пример 1

Найти число, обратное комплексному числу 4 + i.

4 + i = 5fea29ea2f96f476559538

Умножим числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + i.

5fea293ca8fd4718063570

Ответ: 5fea29e9c9b7b396815493

5fea29e999196020835913или 5fea29e9dfc65886894770

Действительно, и 5fea293d149a6756599473

Пример 2

Определить число, обратное комплексному числу 5fea297fae509511201175

В этом примере r = 2 и 5fea293c5b88b142267647, откуда 1/r = 1/2 и 5fea29ea01d02837604295

Следовательно, нужное нам обратное число равно 5fea2980d24bd789033281

Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только что это доказали.

Ответ: 5fea2980d24bd789033281

Неравенство с суммой взаимно обратных чисел

В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — давайте ее сформулируем и узнаем ключевое свойство.

Теорема

Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

Доказательство теоремы:

Нам известно, что среднее арифметическое положительных чисел a и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, то есть,

5fea29ea566d7199841605

Если в качестве b мы возьмем число, обратное a, то полученное неравенство будет выглядеть так: 5fea298052872255441191откуда 5fea29e977a05627233838и 5fea29ea71c10596383172, что и требовалось доказать.

Пример

Вычислить сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,

Источник

Adblock
detector