Что значит взаимообратные функции для логарифмических и показательных функций

Конспект занятия «Показательная и логарифмическая функции»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

4.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Содержание учебного материала:

1.Показательная функция, определение, обозначение.

2. Основные свойства показательной функции.

3.Графики показательной функции и их особенности.

4. Логарифмическая функция, определение, обозначение.

5. Основные свойства логарифмической функции.

6.Графики логарифмической функции и их особенности.

7. Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

8.Использование свойств функций для сравнения значений степеней и логарифмов.

Точка пересечения с осью Оу:(0; 1),т. к. у(0) = а = 1.

При а > 1 функция возрастает; при 0

Ни чётная функция, ни нечётная.

Не ограничена сверху, ограничена снизу прямой у = 0.

Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

hello html 136d938b

Ни четная функция, ни нечетная.

Нули функции: у = 0 при х = 1;

Точек пересечения с осью ординат Оу нет.

При а > 1 функция возрастает на (0; +∞);

Не ограничена сверху, не ограничена снизу. Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.

Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

При а > 1 функция выпукла вверх; при 0

hello html 7d91ca52

placeholder

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

placeholder

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

placeholder

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

a loader

Номер материала: ДБ-110784

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

placeholder

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

placeholder

В России стартует пилотный проект по реабилитации детей-инвалидов

Время чтения: 2 минуты

placeholder

Учительница из Киргизии победила в конкурсе Минпросвещения РФ «Учитель-международник»

Время чтения: 2 минуты

placeholder

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

placeholder

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

placeholder

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

placeholder

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Взаимно обратные функции с примерами и образцами решения

Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными функциями. Подробное ознакомление с этим понятием начнем с простых примеров.

Напишем формулу для вычисления площади круга по его радиусу: S = image 12502. Эта формула задает площадь круга S как функцию его радиуса R, т. е. для каждого (положительного) числа R по этой формуле вычисляется площадь круга S. Представим себе, что надо решить обратную задачу: по данной площади круга S

вычислить его радиус. Для этого выразим R через S так: image 12491

Новая формула задает радиус круга R как функцию его площади S. Полученные две функции S=S(R) и R =R(S) являются примерами взаимно обратных функций.

Приведем еще примеры взаимно обратных функций:

image 12516

В каждом из указанных примеров соответствие между переменными величинами, задаваемое взаимно обратными функциями, одно и то же. В самом деле, зависимость между радиусом и площадью круга остается одной и той же: записывается ли она в виде S = image 12502или же в виде image 12491Точно так же функцииimage 12526

выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у.

Определение. Две функции fug называются взаимно обратными, если формулы y=f (х) и x=g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, т. е. если равенство y=f (х) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x = g (y).

image 12536

Если две функции f и g взаимно обратны, то g называют обратной функцией для f и, наоборот, f — обратной для g.

Как ответить на вопрос, что такое обратная функция для функции f? Это можно сделать следующим образом: обратная функция для функции f — это такая функция g, что f и g образуют пару взаимно обратных функций.

Как мы уже отметили, зависимость y = 2x+ 5 и image 12544

между переменными x и у одна и та же. Эту же зависимость можно записать и так: 2х —y + 5 = 0. Из последней формулы можно выразить у как функцию от х, а можно и, наоборот, выразить х как функцию от у. Эти две функции будут взаимно обратны.

Таким образом, исходным понятием является понятие зависимости. Если есть некоторая зависимость между переменными хну, которая позволяет выразить у как функцию от х и х как функцию от у, то эти две функции и являются взаимно обратными.

lfirmal 3

Графики взаимно обратных функций

При построении графиков взаимно обратных функций необходимо внимательно следить за обозначениями переменных. Рассмотрим функцию f. Аргумент этой функции и ее значения можно обозначить произвольными буквами. Так, в формулах у=image 12438, s = image 12551, N = image 12553переменные обозначены различными буквами, однако каждая из этих формул определяет одну и ту же показательную функцию, экспоненту.

Определение взаимно обратных функций сформулировано на языке зависимостей. Чтобы определить, являются ли эти две функции f и g (заметьте, здесь пока нет обозначений для переменных) взаимно обратными, надо взять две переменные, например х и у, составить две формулы y = f

Различия в обозначениях переменных сказываются при построении графиков функций. Пусть у нас есть две переменные х и у, значения которых откладываются на выбранных координатных осях, которые мы обозначаем этими же буквами х и у. Рассмотрим зависимости между х и у.

image 12558

Ясно, что это разные записи одной и той же зависимости между переменными х и у.

image 12564

Поэтому график каждой из этих зависимостей один и тот же — он состоит из всех точек Р (х; у), координаты которых связаны соотношением у = 2х+5, справедливым тогда и только тогда, когда image 12574или 2ч —у + 5 = 0 (рис. 113). Точно так же график зависимостей у = image 12438и х = ln у в системе координат (х; у) один и тот же (и зависимость между х и у на самом деле одна и та же; рис. 113).

Посмотрим на зависимость image 12574. Она выражает х как некоторую функцию от у. Аргумент этой функции обозначен буквой у, а значения — буквой х. Поменяем местами х и у, т. е. рассмотрим зависимость image 12586. Функция осталась одной и той же, но теперь ее аргумент обозначен, как обычно, буквой х, а значения — буквой у. Построим график функции image 12586(например, по двум точкам на рисунке 113). Мы видим, что этот график отличен от графика зависимости image 12574.

Как связаны между собой графики функций у = 2х+5 и image 12586?

Возьмем какую-либо точку на графике первой функции, например Р(0; 5). Поменяем местами координаты, т. е. рассмотрим точку Q (5; 0). Эта точка лежит на графике второй функции image 12599,

Точки Р (0; 5) и Q (5; 0) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу, т. е. прямой у — х. Из рисунка 114 видно, что при любых а и b точки Р (а; b) и Q (b а) симметричны друг другу относительно прямой у=х.

Теорема:

Пусть f и g — взаимно обратные функции. Графики функций y — f(x) и y = g(x) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу.

image 12566 image 12607

Доказательство

По определению взаимно обратных функций формулы y = f(x) и х = g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, а значит, эта зависимость изображается одним и тем же графиком — некоторой кривой С (схема XII). Кривая С является графиком функции y = f(x). Возьмем произвольную точку Р (а; b) ∈ С. Это означает, что b = f(a) и одновременно a = g(b). Построим точку Q, симметричную точке Р относительно биссектрисы угла хОу. Как мы заметили раньше, точка Q будет иметь координаты (b; а). Так как a = g (b), то точка Q принадлежит графику функции y = g(x): действительно, при х = b значение у = а равно g (х). Таким образом, все точки, симметричные точкам кривой С относительно указанной прямой, лежат на графике функции у = g (х). Они исчерпывают этот график целиком, так как аналогично показывается, что всякая точка функции y — g(x) при указанной симметрии попадает на график функции y = f(x). Теорема доказана.

На рисунке 115 изображены графики пар взаимно обратных функций:

image 12613

Условие существования обратной функции

Дана функция y = f(x). Поставим следующий вопрос: при каком условии существует функция, обратная к функции f? По определению обратная функция к функции f строится так: из соотношения y=f(x) надо х выразить как функцию от у.

Читайте также:  Что значит биполярные медведи

Таким образом, самым простым ответом на поставленный вопрос будет такой: функция f имеет обратную, если из соотношения y = f(x) переменную x можно однозначно выразить через у. Мы уже знакомы с примерами функций, для которых это можно сделать. Приведем примеры таких функций, для которых нельзя однозначно выразить аргумент через заданное значение функции.

Сравним графически эти примеры с примерами, приведенными ранее. Возьмем число у0 из области значений функции f и проведем прямую у = уо, параллельную оси абсцисс. В ранее рассмотренных случаях эта прямая пересекает график в одной точке, т. е. можно по заданному значению у однозначно найти значение х. В последних трех примерах при некоторых у прямая пересекает график более чем в одной точке: для этих значений у мы не можем однозначно найти х, значит, эти функции не имеют обратных.

Дадим геометрическую трактовку условия того, что функция имеет обратную.

Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x)=yo при каждом уо имеет не более одного решения.

Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Действительно, если f, например, строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x) = y для строго монотонной функции имеет не более одного решения.

Показательная функция у = image 12645строго монотонна, поэтому она имеет обратную — логарифмическую функцию y = loga x. Строго говоря, определение логарифма числа у требовало возможности однозначно определить показатель х, такой, что image 12645=у, т. е. чтобы из соотношения image 12645=у можно было однозначно выразить х через у.

Мы знаем, что многие функции не имеют обратных. Если при некотором b уравнение f(x) = b имеет более одного решения, то функция y =f(x) обратной не имеет. На графике это означает, что прямая у = b пересекает график функции более чем в одной точке.

Многие изучавшиеся ранее функции не имеют обратных, например у = image 12628, y = sin x, y = tg x и т. п. С неоднозначностью решения уравнения f(x)=b можно справиться следующим образом: уменьшить область определения функции f так, чтобы ее область значений не изменилась, но чтобы каждое свое значение она принимала ровно один раз.

Примеры:

image 12669

В каждом из приведенных примеров функция сохранила область значений: для у = image 12628это промежуток [0; + ∞]. Для синуса и косинуса это отрезок [—1; 1], для тангенса это вся числовая ось. В то же время, уменьшив область определения, мы добились монотонности функции, а значит, и единственности решения уравнения f(x)=b.

Каждая из выписанных выше функций имеет обратную. Для обратных операций из примеров 1, 3, 5, 6 нами раньше введены специальные обозначения:

image 12677

С помощью этих обозначений можно ввести функции, обратные к тем, которые были перечислены выше:

image 12679

Функции в пропущенных примерах 2 и 4 можно выразить через уже введенные:

2. у=—image 12692является обратной функцией для функции у = image 12628, х ≤ О.

4. у = π — arcsin x является обратной функцией для функции у=sin, image 12700

Проверим последнее утверждение:

image 12706

б) Проверим, что π —arcsin х имеет областью значений отрезок

image 12708

image 12716

Свойства взаимно обратных функций

1) Тождества. Пусть f и g — взаимно обратные функции. Это означает, что равенства y = f(х) и x=g(y) равносильны. Подставим одно из этих равенств в другое. Получим два тождества:

image 12718

Примеры:

image 12719

2. Функции у = image 12628, х ≥ 0 и у = image 12692взаимно обратны. Имеем два тождества:

image 12726

2) Область определения. Пусть f и g — взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и, наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g. Действительно, обратная функция к функции y = f(x) определена для всякого числа у, которое является значением функции f для некоторого числа х: мы берем равенство y = f(x) и из него выражаем л: как функцию от у. Это свойство наглядно проявляется на графике: график функции y = f(x) совпадает с графиком обратной функции x = g(y), только аргумент функции g откладывается по оси у. Ясно, что аргументы функции g — это значения функции f и наоборот.

Пример. Область определения показательной функции — вся числовая ось R, а ее область значений — множество всех положительных чисел. У логарифмической функции наоборот: область определения — множество всех положительных чисел, а область значений — все множество R.

Теорема:

Если одна из взаимно обратных функций строго возрастает, то и другая строго возрастает.

Действительно, пусть f и g— взаимно обратные функции, причем f строго возрастает. Докажем, что тогда и g строго возрастает. Пусть x1 и x2 — два числа, лежащие в области определения функции g, причем x1 image 12778

Переходя к производным и учитывая, что угловой коэффициент касательной является значением производной в точке касания, делаем вывод:

Значения производных взаимно обратных функций в соответствующих точках взаимно обратны, т. е.

image 12811

Напомним еще, что b = f

Замечание:

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что k1 ≠ 0 т. е. касательные к кривым не параллельны осям координат.

Приведем примеры нахождения производной обратной функции.

image 12822

Обратной функцией будет функция y = g(x) = image 12826Найдем производную функции g:

image 12832 image 12835

Обратной функцией будет y = g (x) = arcsin x. Найдем производную арксинуса:

image 12840 image 12842

Аналогично вычисляется производная арктангенса:

image 12847

Дополнение к обратным функциям

1 1826 2 1816 3 1486 4 964 5 492 6 287 7 181 8 125

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

lfirmal 3

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Показательные функции и логарифмы в математике с примерами решения и образцами выполнения

Определение показательной функции:

Определение:

Показательной функцией от независимого переменного х называется выражение image 74527, где а — данное число.

Если а отрицательно, функция image 74527определена только при когда х дробное или иррациональное (см. определение дробного показателя в гл. VI).

Если а = 0, функция image 74527определена только при именно при х > 0 всех положительных значениях x image 74586=0. При х = 0, а также при х image 74602

Свойства функции image 74527

Если a image 74647

Доказательство:

Пусть а > 1 и М—сколь угодно большое положительное число. Как показано в теореме 2 § 9 гл. V, image 2642>М при всех image 74648Пусть теперь

image 74649

При всех значениях х, удовлетворяющих этому неравенству, image 74653

Пусть теперь m— сколь угодно малое положительное число. По доказанному найдется такое х, что image 74654или, что все равно image 74656т. е.

image 74659

Первая часть утверждения доказана.

Пусть теперь а image 74667

убывает от значений сколь угодно больших до значений, сколь угодно близких к нулю. Вторая часть утверждения доказана.

6. Если а положительно и отлично от единицы, то каково бы ни было положительное число N, существует и притом только одно такое значение х, что

image 74670

Иными словами, если а положительно и отлично от единицы и N— данное положительное число, уравнение image 74670имеет решение и притом только одно.

Доказательство:

Докажем сначала, что уравнение имеет решение. Одно из двух: или существует такое рациональное число г, что image 74800или такого числа не существует. Если имеет место первое, то для таких N утверждение доказано. Если имеет место второе, покажем, что существует такое иррациональное число а, что image 74801

Пусть а > 1. Существует такое целое т, что image 74804С другой стороны, существует такое целое n₁ что image 74806Выпишем все целые числа от n₁ дo n:

image 74810

Рассмотрим последовательность степеней

image 74815

Сравнивая члены последовательности (1) с числом N, можно найти такие два соседних члена image 74816последовательности (1), что число N будет заключено между ними, т. е.

image 74819

Составим теперь последовательность

image 74820

Сравнивая члены последовательности (2) с числом N, можно найти таких два соседних члена image 74823последовательности (2), что

image 74825

image 74826

Сравнивая члены последовательности (3) с числом N, опять найдем таких два соседних члена image 74831что

image 74835

Продолжая неограниченно процесс деления промежутка на 10 равных частей и сравнивая всякий раз число N с получающимися при этом степенями числа а, получим две последовательности показателей

image 74838

и две последовательности степеней

image 74839

Последовательность (4) — возрастающая и ограниченная сверху любым членом последовательности (5). Последовательность (5) — убывающая и ограниченная снизу любым членом последовательности (4). Разность последовательностей (5) и (4) сходится к нулю. Следовательно, существует единственное число а, которое больше всех членов последовательности (4) и меньше всех членов последовательности (5).

Точно так же существует единственное число, которое больше всех членов последовательности (6) и меньше всех членов последовательности (7). Этим числом по построению последовательности является число N. По определению степени с иррациональным показателем, этим числом является image 74388. Значит, image 74801

Пусть теперь а 1. Уравнение

image 74855

имеет решение при любом положительном N. Это же решение удовлетворяет уравнению

image 74856

Докажем, что решение единственно. Предположим, что уравнение имеет два решения: x = x₁, и х = х₂, причем x₁>x₂. Тогда имеем:

image 74862

Но это невозможно, так как при image 74863

lfirmal 3

График показательной функции

Пусть а > 1, тогда график функции image 74869имеет вид, указанный на рис. 83. В соответствии со свойствами функции image 74527, изложенными в § 2, график этой функции обладает следующими свойствами:

image 74874

В левой своей части график, если наблюдать за ним справа налево, все ближе подходит к оси Ох, как бы стремясь коснуться ее. Однако график нигде не касается оси Ох (свойства 5 и 2 § 2).

Читайте также:  Чем прикрутить карниз к гипсокартону

image 74877

5. Всякая прямая, параллельная оси Ох и лежащая в верхней полуплоскости, пересекает график и притом только в одной точке (свойство 6 § 2).

image 74880

6. При всех а график проходит через точку (0,1). Это объясняется тем, что при любом положительном а

image 74881

Если a 1 и при а image 74888

Таблица составлена посредством приближенного извлечения √2, ∜2, √8, ∜8 и т. д.

На рис. 86 изображен график функции image 74896График построен при помощи следующей таблицы:

image 74898

Определение логарифма

Определение:

Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить N.

Для обозначения логарифма употребляется знак log. Тот факт, что число х является логарифмом числа N по основанию а, записывается так:

image 74901

По определению image 74904. Например, log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8; image 74916

Логарифмическая функция

Пусть а > 0 и отлично от единицы. Возьмем произвольное положительное число у. Как показано (п. 6 § 2), уравнение

image 74920

имеет единственное решение. Это значит, что всякое положительное число у по любому основанию (положительному и отличному от единицы) имеет единственный логарифм

image 74923

Это утверждение называется теоремой о существовании логарифма.

Придавая числу у различные положительные значения, будем получать различные значения image 74926и при этом каждому положительному значению у будет соответствовать одно и только одно значение х. Это означает, что х является функцией от у, определенной и однозначной для всех положительных значений у. Функция эта называется логарифмической.

Логарифмическая функция image 74926связана с показательной функцией image 74883следующим образом.

Показательная функция дает описание изменения степени числа а в зависимости от изменения показателя степени; логарифмическая функция дает описание изменения показателя степени в зависимости от изменения степени числа а.

Иными словами, показательная функция дает описание изменения числа в зависимости от изменения его логарифма по основанию а; логарифмическая функция дает описание изменения логарифма числа по основанию а в зависимости от изменения числа.

Таблица значений показательной функции при данном основании а является одновременно и таблицей значений логарифмической функции при том же основании а.

График показательной функции image 74883является одновременно и графиком логарифмической функции. image 74926(см. рис. 83 и 84), только в одном случае значения независимого переменного

image 74935

отложены на горизонтальной оси, а значения функции — на вертикальной; в другом случае, наоборот, значения функции отложены на горизонтальной оси, а значения не-, зависимого переменного — на вертикальной.

Показательная функция при основании а и логарифмическая функция при том же основании представляют пример двух обратных друг другу функций.

Обычно принято значения независимого переменного обозначать буквой х и откладывать на горизонтальной оси, а значения функции обозначать буквой у и откладывать на вертикальной оси.

Если придерживаться этого правила, то для функции image 74883обратной будет функция image 74939, а графиком функции image 74939будет служить кривая, получаемая из графика функции image 74869(рис. 83, 84) посредством преобразования симметрии относительно прямой у = х, т. е. посредством переноса каждой точки М(а, b) в точку М₁ (b, а) (рис. 87).

Свойства логарифмов чисел

Свойства логарифмов чисел при основании, большем единицы:

Это свойство вытекает из свойства 5 показательной функции и условно записывается так:

image 74956

7. Логарифм основания равен единице.

Свойства логарифмов чисел при положительном основании, меньшем единицы:

Теоремы о логарифмах

Теорема:

Логарифм произведения двух или нескольких чисел равен сумме логарифмов сомножителей.

Доказательство:

Пусть image 74971— произвольные положительные числа. По определению логарифма, имеем

image 74973

Перемножив эти равенства почленно, получим

image 74977

С другой стороны, по определению логарифма,

image 74978

Из равенств (1) и (2) имеем

image 74982

Теорема:

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Доказательство:

Пусть N₁ и N₂ — произвольные положительные числа. По определению логарифма,

image 74987

Разделив эти равенства почленно, получим

image 75011

С другой стороны, по определению логарифма,

image 75016

Из равенств (3) и (4) имеем:

image 75017

Теорема:

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания.

Доказательство:

Пусть N—произвольное положительное число и а — любое вещественное число. По определению логарифма,

image 75021

Возведя обе части равенства в степень а, получим

image 75025

С другой стороны, по определению логарифма,

image 75026

Из равенств (5) и (6) имеем

image 75028

Теорема:

Логарифм корня равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня.

Доказательство:

Пусть N — произвольное положительное число, n— натуральное. Тогда, используя теорему 3, получим

image 75031

Доказанные теоремы служат основой для вычислений при помощи логарифмов.

Пусть требуется найти произведение двух чисел N₁ и N₂ Пользуясь графиком логарифмической функции или таблицей ее значений, определяют image 75038Далее, сложением логарифмов определяют логарифм искомого произведения (теорема 1)

image 75041

Точно так же при делении, возведении в степень и извлечении корня используются теоремы 2, 3, 4 соответственно.

Логарифмирование и потенцирование выражений

Пользуясь теоремами 1 —4 § 7, часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых действий над логарифмами входящих в него более простых выражений.

Такое преобразование логарифма называется логарифмированием выражения.

Например, пусть надо вычислить

image 75054

Применяя теорему о логарифме частного, имеем

image 75056

Далее, на основании теорем о логарифме произведения, степени и корня последовательно имеем

image 75058

image 75059

image 75062

Таким образом, вычисление логарифма А сведено к вычислению логарифмов а, b, с, d, е.

Логарифм суммы не может быть просто выражен через логарифмы слагаемые. Иногда логарифм суммы преобразуется так:

image 75067

Такое преобразование используется в так называемых гауссовых логарифмах.

При решении некоторых вопросов приходится ввести преобразование, обратное логарифмированию, т. е. приходится результат действий над логарифмами нескольких выражений преобразовывать в логарифм одного выражения. Такое преобразование логарифмов называется потенцированием выражения.

Пример:

image 75072

Решение:

На основании теоремы о логарифме степени имеем:

image 75076

На основании теоремы о логарифме произведения

image 75084

Ha основании теоремы о логарифме частного

image 75086

Так как из равенства логарифмов двух чисел дледует равенство этих чисел (см. свойство 4 § 6), то

image 75088

Пример:

Найти А, если известно, что

image 75090

Решение:

image 75091

Ответ. image 75095

В этом параграфе, за исключением последнего примера, употребляется знак логарифма без указания основания, по которому берутся логарифмы. Объясняется это тем, что все изложенное здесь справедливо для логарифмов по любому основанию.

Десятичные логарифмы

За основание логарифмов обычно принимается число 10, так как 10 лежит в основе употребительной системы счисления. Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для упрощения записи десятичных логарифмов основание обычно не указывается и знак log заменяют знаком lg, т. е. вместо log₁₀N пишут lgN

Десятичные логарифмы обладают всеми свойствами логарифмов при основании, бoльшем единицы, и, кроме того, следующими:

2. Если число является степенью числа 0,1 с натуральным показателем, то десятичный логарифм его равен целому отрицательному числу, абсолютная величина которого равна количеству нулей, входящих в десятичное изображение этого числа, в том числе и нуля целых.

Действительно, image 75123Например, lg 1000 = 3; lg 0,0001 = — 4.

3. Если число умножить на image 75132, логарифм его увеличится на n.

Действительно, пусть lg N = x, тогда lg

image 75706

4. Если число разделить на 10ⁿ, логарифм его уменьшатся на n.

5. Если в десятичной дроби перенести запятую на п знаков вправо, логарифм ее увеличится на n. Если в десятичной дроби перенести запятую на п знаков влево, логарифм ее уменьшится на n.

6. Логарифмы рациональных чисел вообще иррациональны. Исключение составляют лишь числа, являющиеся степенью числа 10 с целым показателем.

Доказательство:

1. Пусть натуральное N имеет рациональный логарифм image 75731, где m и n — натуральные числа. Тогда

image 75733

Если N делится на простое число р, отличное от 2 и 5, равенство (1) невозможно, так как 10ᵐ на р не делится. Остается предполагать, что image 75760, где q и t — целые неотрицательные числа. Докажем, что q = t и, следовательно, N есть степень числа 10 с целым показателем. Допустим, что q > t. Тогда

image 75767

Равенство (1) принимает вид

image 75770

Если m = nt равенство (2) невозможно, так как оно приводит к равенству

где q > t. Точно так же равенство (2) невозможно как при m nt. Итак,

image 75775

Рассуждая точно так же, можно показать, что q не может быть меньше t.

2. Пусть N—неправильная несократимая дробь, т. е. image 75780где а и b натуральные, а > b > 1 и a взаимно просто с b. Предположим опять, что логарифм N равен image 75731. Тогда

image 75787

Так как степень несократимой дроби с натуральным показателем есть опять несократимая дробь, равенство (3) невозможно.

3. Пусть N — правильная несократимая дробь, т. е. image 75780,b image 75807

image 75816

По доказанному в п. 2 равенство (4) возможно только тогда, когда b ≠ 1. Равенство (4) принимает такой вид:

image 75821

По доказанному в п. 1 последнее равенство возможно только тогда, когда а есть степень числа 10 с целым неотрицательным показателем. Выходит, что

image 75824

где k—целое неотрицательное число.

Характеристика и мантисса

Если действительное число не является целым, то его можно представить в виде суммы целого числа и положительного числа, меньшего единицы. Например,

image 75826

Поэтому и логарифм любого положительного числа N можно представить так:

image 75828

где А — целое число и 0 ≤ a image 75833

т. е. 2 image 75834

где 0 image 75843

т. е. —3 image 75839

где 0 image 75840

так как image 75883есть наименьшее целое n-значное число, а 10ⁿ есть (n+ 1)-значное число. Значит,

image 75896

image 75897

где 0 ≤ а image 75911

а — цифра, отличная от нуля. Тогда image 75918Значит,

image 75922

image 75926

image 75928

где 0 ≤ a Понятие о вычислении логарифмов

Для использования логарифмов при вычислениях необходимо, чтобы в распоряжении вычислителя имелись достаточно подробные таблицы значений логарифмической функции, вычисленные с определенной, достаточной для практических целей, точностью.

Читайте также:  Что значит mtl затяжка

Математика располагает различными средствами для составления таких таблиц. Однако рассмотрение этих способов вычисления логарифмов выходит за пределы школьной программы.

Можно указать способ, далеко не совершенный, но весьма простой по идее, из рассмотрения которого будет видно, что логарифм любого натурального числа может быть вычислен с любой точностью.

Пусть требуется вычислить логарифм натурального числа N с точностью до image 76568. Возведем N в k-ю степень и определим количество цифр t получаемого при этом числа. Тогда

image 76572

image 76574

Например, 2¹⁰= 1024, значит, lg2¹⁰ = 3,… Отсюда lg2 = 0,3…

На следующем примере будет показан более совершенный способ вычисления логарифмов.

Пример:

Решение:

Обозначив искомый логарифм буквой х, имеем

image 76589

image 76621

image 76629

image 76631

Положим image 76637где z > 1. Тогда

image 76652

image 76661

image 76667

Дальнейшие вычисления по этой схеме затруднительны. Имеем

image 76670

где 3 image 76686

Положим z = 4, тогда

image 76691

Так как 3 image 76697

Посредством весьма несложных вычислений найдено значение lg2 с двумя верными знаками после запятой. Более точные вычисления показывают, что lg 2 = 0,30103 с точностью до 0,00001.

Интерполирование

Предположим, что логарифм числа N не указан в таблице. Найдем в таблице логарифмы ближайших к N чисел N₁ и N₂ из которых N₁ N Будем считать, что приращения логарифмов пропорциональны приращениям логарифмируемых чисел. Тогда имеем

image 78021

откуда lgN легко определяется.

Этот способ приближенного вычисления, при котором по двум табличным значениям приближенно определяется промежуточное значение, называется интерполированием.

Пример:

Найти lg474,7, если lg 474 = 2,6758, a lg 475 = 2,6767.

Решение:

При увеличении числа на единицу логарифм его увеличился на 0,0009, так как 2,6767—2,6758 = 0,0009. На сколько увеличится логарифм, если число увеличится на 0,7? Предполагая, что приращения логарифмов пропорциональны приращениям логарифмируемых чисел, имеем

image 78023

Таким образом, логарифм должен увеличиться на 0,0006, т. е.

image 78024

Действительно, по пятизначным таблицам логарифмов видно, что

image 78025

Мы получили правильный результат.

Употребление четырехзначных логарифмических таблиц

К таблицам логарифмов приложены объяснения, в которых показано, как следует пользоваться таблицами для отыскания логарифмов чисел и отыскания чисел по их логарифмам. Здесь поэтому нет надобности давать еще раз эти объяснения. Ограничимся рассмотрением примера. Пусть надо вычислить

image 78026

Прежде всего следует, не вдаваясь в точные вычисления, определить, какой следует ожидать ответ. Так как image 78027то

image 78028

Так image 78029то

image 78031

image 78034

Мы видим, что ответ следует ожидать приблизительно равный 8.

image 78035

Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками

При вычислениях при помощи таблиц логарифмов часто приходится производить сложение и вычитание логарифмов, умножение логарифма на натуральное число, деление логарифма на натуральное число.

Эти действия производятся по обычным схемам с учетом незначительной особенности, вызванной тем, что характеристика логарифма может быть отрицательной.

image 78037

image 78038

image 78040

Так как мантисса вычитаемого больше мантиссы уменьшаемого, к мантиссе уменьшаемого мысленно прибавляется единица, а от характеристики отнимается единица.

image 78042

image 78045

image 78046

image 78048

Если бы потребовалось 6,2344 разделить на 4, следовало бы к характеристике, прибавить —2, а к мантиссе + 2, т. е.

image 78050

Пример:

image 78052

image 78053

image 78054

Понятие об устройстве логарифмической линейки

Расскажем сначала, как при помощи двух линеек можно производить сложение и вычитание чисел.

Возьмем линейку произвольной длины и разобьем ее делениями на 30 равных частей. У каждого деления поставим отметку 0, 1, 2,…, 30 (рис. 89).

image 78060

Возьмем еще одну линейку такой же длины и разобьем ее на 30 равных частей так же, как и первую. Отметки на линейках должны быть расположены так, чтобы у одной из них они были нанесены на нижнем краю, а у другой —на ее верхнем краю (рис. 90).

image 78061

При помощи этих двух линеек можно производить сложение и вычитание чисел.

Предположим, что мы хотим к числу 12 прибавить число 17. Отметку 12 на линейке АВ поставим против отметки 0 на линейке CD. Затем найдем на линейке CD отметку 17 и прочтем противостоящую ей отметку 29 на линейке АВ. Эта отметка 29 и дает нам искомую сумму (рис. 91).

image 78066

Точно так же производится вычитание. Предположим, что мы хотим от 28 отнять 13., Против отметки 28 на линейке АВ устанавливаем отметку 13 на линейке CD. Против отметки 0 на линейке CD находится отметка 15 на линейке АВ. Эта отметка 15 и дает нам искомую разность (рис. 92).

По такой же схеме ведутся вычисления и на логарифмической линейке. Различие лишь заключается в том, что при работе на логарифмической линейке складываются и вычитаются не числа, а их логарифмы.

Возьмем линейку MN произвольной длины и примем ее за единицу. У точки М поставим отметку 1, а у точки N—отметку 10. Это означает, что точка М изображает lg 1, а точка N изображает lg 10.

Отметку 2 мы ставим у точки М₂ находящейся от точки М на расстоянии приблизительно 0,3 MN. Это означает, что точка M₂ изображает lg 2 (lg 2 = 0,301).

image 78071

Отметку 3 мы ставим у точки M₃, находящейся от точки М на расстоянии приблизительно 0,48 MN. Это означает, что точка М₃ изображает lg 3 (lg 3 = 0,477).

По этому же правилу ставим и остальные отметки. Получается линейка (рис. 93), на которой нанесена логарифмическая шкала.

image 78073

Возьмем еще одну линейку такой же длины, как и MN, и нанесем на ней точно такую же шкалу, как и на MN. Отметки на линейках и здесь должны быть расположены так, чтобы у одной из них они были нанесены на нижнем краю, а у другой — на ее верхнем краю (рис. 94).

image 78074

Из способа построения шкал на линейках МN и PQ вытекает, что сложение, произведенное при помощи линеек с логарифмическими шкалами, означает сложение логарифмов и, следовательно, может быть использовано для умножения чисел, логарифмы которых складывались.

Вычитание, произведенное при помощи линеек с логарифмическими шкалами, означает вычитание логарифмов и, следовательно, может быть использовано для деления чисел, логарифмы которых вычитались.

Из сказанного вытекают следующие правила умножения и деления чисел на логарифмической линейке.

Правило умножения. Для того чтобы при помощи двух одинаковых линеек МN и PQ с логарифмическими шкалами перемножить два числа тип, нужно на линейке МN отыскать деление с отметкой m и поставить это деление против отметки 1 или 10 на линейке PQ. Затем на линейке PQ отыскать деление с отметкой n и прочесть на линейке МN противостоящую отметку, которая и даст искомое произведение.

Правило деления. Для того чтобы при помощи двух одинаковых линеек с логарифмическими шкалами разделить число m на n, нужно отметку m на линейке МN поставить против отметки n на линейке PQ. Частное будет дано отметкой ла линейке МN, находящейся против отметки 1 или 10 на линейке PQ.

На рис. 95 показано умножение 2 на 3. На рис. 96 показано умножение 8 на 5. На этих же рисунках показано и деление 6 на 3 (рис. 95) и деление 40 на 5 (рис. 96).

image 78283

Устройство логарифмической линейки изложено здесь очень кратко и только для того, чтобы помочь учащемуся сделать первые шаги для ознакомления с этим простейшим счетным прибором. Для того

image 78285

чтобы научиться быстро считать на логарифмической линейке, нужно упражняться и попутно ознакомиться с подробным описанием линейки, и правилами ее использования.

Для приближенных вычислений логарифмическая линейка, длина шкалы которой 25 см, может заменить таблицы трехзначных логарифмов.

Решение некоторых трансцендентных уравнений

Мы рассматривали уравнения первой степени, квадратные, биквадратные, иррациональные. Все эти уравнения относятся к классу алгебраических уравнений.

Помимо алгебраических уравнений, рассматриваются уравнения неалгебраические, или трансцендентные.

Мы рассмотрим некоторые трансцендентные уравнения: уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени (показательные уравнения), и уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма (логарифмические уравнения).

Пример:

Решить уравнение image 78290

Решение:

Предположим, что уравнение имеет решение. Тогда

image 78292

Так как степени числа 2 равны, то должны быть равны и показатели степеней

image 78302

image 78305

Проверка показывает, что оба решения удовлетворяют уравнению.

Пример:

Решить уравнение image 78310

Решение:

Допустим, что уравнение имеет решение. Тогда

image 78311

Так как степени числа 3 равны, должны быть равны и показатели степеней

image 78313

Проверка показывает, что найденное решение удовлетворяет уравнению.

Пример:

Решить уравнение image 78319

Решение:

Предположим, что уравнение имеет решение. Тогда, положив 5ᵡ = у, получим

image 78328

image 78329

Второе значение для у должно быть отброшено, так как 5ᵡ не может равняться отрицательному числу. Остается

image 78331

Проверка показывает, что это решение удовлетворяет уравнению.

Пример:

Решить уравнение 15ᵡ = 43. ‘

Решение:

Это уравнение имеет единственное решение (свойство 6 показательной функции). Логарифмируя, имеем

image 78334

image 78335

Пример:

image 78344

Решение:

Предположим, что уравнение имеет решение, тогда

image 78345

Из равенства логарифмов двух чисел следует и равенство чисел

image 78346

image 78347

Итак, если рассматриваемое уравнение имеет решения то этими решениями могут быть только

image 78349

Первое из этих значений не удовлетворяет уравнению, так как при х=- 1 под знаком логарифма оказывается отрицательное число.

Ответ. image 78354

Пример:

Решить уравнение image 78358

Решение:

Предположим, что уравнение имеет решение. Тогда логарифмы левой и правой частей должны быть равны:

image 78363

Положим lg х = у. Имеем:

image 78366

image 78367

image 78369

Оба значения неизвестного удовлетворяют уравнению.

Ответ. image 78372

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

lfirmal 3

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Adblock
detector