Что значит взять дифференциал

Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d)

Пролог:

Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.

Начало

Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной (скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.

Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:

image loader

Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».

image loader

Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).

Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):

image loader

И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.

Смотрим дифференциалу в лицо

Расмотрим такой график:

image loader

Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.

image loader

Зная это введем обозначение на графике:

image loader

Вернемся к равенству

image loader

BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.

Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.

Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).

Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.

Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx

И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.

Немного пределов

image loader

Добавим с левой части и с правой предел

image loader

image loader

В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:

image loader

Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:

image loader

Источник

Дифференциал функции в математике с примерами решения и образцами выполнения

Понятие дифференциала функции:

Известно, что если функция image 51349, дифференцируема в некоторой точке image 51353, то ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

image 51356

где функция image 51360такова, что

image 51366

Слагаемое image 51370является линейной функцией от image 51375, а слагаемое image 51360есть бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая image 51375. Поэтому говорят, что величина image 51370: составляет главную часть приращения функции image 51385в точке image 51392.

Определение:

Дифференциалом функции image 51397в точке image 51399называется линейная относительно image 51381функция image 51403составляющая главную часть приращения функции image 51385в точке image 51399.

Дифференциал функции обозначается image 51410(«де эф от икс нулевое) или image 51415(«де игрек»)»

image 51421

image 51423

Пример:

Найти дифференциал функции image 51428.

Решение:

По формуле (3) имеем:

image 51430

Итак, дифференциал image 51433независимого переменного image 51434совпадает с его приращением image 51437. Поэтому равенство (3) можно записать в виде

image 51438

Пример:

Найти дифференциал сложной функции image 51440.

Решение:

По формуле (4) находим:

image 51444

Но — image 51447поэтому,

image 51449

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример:

Найти дифференциал функции

image 51453

Решение:

По формуле (4) находим:

image 51454

lfirmal 3

Геометрический смысл дифференциала

Пусть image 51457— дифференцируемая в точке image 51392функция, график которой изображен на рис. 74, image 51461— касательная к графику функции image 51463в точке image 51465с абсциссой image 51392. Рассмотрим ординату этой касательной, соответствующую абсциссе image 51468.

Из прямоугольного треугольника image 51470находим image 51471. По этому

image 51473

Таким образом, дифференциал функции image 51475в точке image 51399равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке image 51476, соответствующему приращению ее абсциссы image 51478.

Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости.

image 51479

Дифференциал может быть как меньше приращения функции (см. рис. 74), так и больше (рис. 75). Однако при достаточно малых приращениях image 51381можно

image 51481

принять image 51484. Этот вывод следует и из равенств (1) и (2) предыдущего параграфа.

Вычисление дифференциала

Мы установили, что дифференциал функции image 51486имеет форму

image 51488

т. е. дифференциал функции image 51490равен произвелдению производной этой функции на дифференциал ее аргумента.

По формуле (1) можно вычислить дифференциал любой дифференцируемой функции. Так, например;

image 51497

Аналогично, каждой из основных формул дифференцирования можно сопоставить соответствующую формулу для вычисления дифференциала.

Пример:

Найти дифференциал функции

image 51499

Решение:

По формуле (1) находим: image 51504

Пример:

Найти дифференциал функции

image 51507

Решение:

Находим: image 51513

Дифференциалы высших порядков

Из формулы image 51517следует, что дифференциал функции image 51518зависит от двух переменных, image 51521, причем image 51523не зависит.

Рассмотрим дифференциал image 51525только как функцию от image 51434, т. е. будем считать image 51527постоянным. В этом случае можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции image 51529называется дифференциалом второго порядка, или вторым дифференциалом этой функции и обозначается image 51553(«де два игрек») или image 51559(«де два эф от икс»).

Таким образом, image 51566
Принято скобки при степенях image 51569не писать, поэтому

image 51571

Аналогично определяются дифференциалы третьего порядка:

image 51573

Вообще, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала image 51575порядка:

image 51577

Таким образом, для нахождения дифференциала пго порядка функции image 51529нужно найти производную п-го порядка от этой функции и полученный результат умножить на image 51580.

Пример:

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции

image 51691

Решение:

Находим соответствующие производные
от данной функции:

image 51696

image 51698

Приложение дифференциала приближенным вычислениям

Рассмотрим функцию image 51703, приращение которой

image 51705

image 51706

Выше (§ 2) было установлено, что при достаточно малых image 51809— имеем

image 51810

Так как вычислять image 51811значительно проще, чем image 51812, то на практике формулу (3) применяют к различным приближенным вычислениям.

Вычисление приближенного значения приращения функции

Пример:

Найти приближенное значение приращения функции image 51813.

Решение:

Применив формулу (3), получим:

image 51814

Посмотрим, какую погрешность мы допустили, вычислив дифференциал данной функции вместо ее приращения. Для этого найдем истинное значение приращения:

image 51815

Далее, находим абсолютную погрешность приближения:

image 51816

а затем и относительную погрешность:

image 51824

Погрешность приближения оказалась довольно малой, что еще раз подтверждает целесообразность применения формулы (3).

Вычисление приближенного числового значения функции

Из формулы (1) имеем

image 51826

image 51828

Пример:

Найти приближенное значение функции image 51832

Решение:

Представим image 51434в виде суммы image 51837Приняв image 51839найдем image 51846

image 51848

image 51850

Приближенное вычисление степеней

Рассмотрим функцию image 51857Применив формулу (4), получим

image 51863

image 51867

По этой формуле наводят приближенное значение степеней.

Пример:

Найти приближенное значение степени image 51870.

Решение:

Представим данную степень в виде image 51875. Приняв image 51880по формуле
(5) найдем: image 51886image 51891

Приближенное извлечение корней

При image 51903и image 51910формула (5) примет вид

image 51917

image 51919

Формула (6), известная и по школьному курсу, дает возможность найти приближенные значения различных корней.

Пример:

Найти приближенное значение корня image 51925

Решение:

Представим данный корень в виде image 51963Приняв image 51970по формуле (6) найдем:

image 51983

Дополнение к дифференциалу

Screenshot 1 144 Screenshot 2 121 Screenshot 3 93 Screenshot 4 80 Screenshot 5 59 Screenshot 6 54 Screenshot 7 35 Screenshot 8 32 Screenshot 9 21 Screenshot 10 21 Screenshot 11 13 Screenshot 12 12 Screenshot 13 12 Screenshot 14 9 Screenshot 15 8 Screenshot 16 8

Понятие о дифференциале в высшей математике

Сравнение бесконечно малых величин между собой

I. Мы рассмотрели действия над бесконечно малыми величинами и показали, что в результате сложения, вычитания и умножения их получаются также бесконечно малые величины. Однако частное от деления двух бесконечно малых друг на друга может быть не только бесконечно малой величиной, но и бесконечно большой и конечной.

В самом деле, пусть, например, а — бесконечно малая, тогда image 31291и 2а будут также бесконечно малыми. При делении их друг на друга возможны следующие случаи:

1) отношение image 31296— бесконечно малая величина,

2) отношение image 31297— бесконечно большая величина,

3) отношение image 31299— конечная величина.

Первое отношение показывает, что бесконечно малая image 31291составляет ничтожно малую часть от а и, следовательно, стремится к нулю значительно быстрее, чем а.

Второе отношение указывает на то, что а, неограниченно уменьшаясь, остается значительно больше, чем image 31291, т. е. стремится к нулю медленнее величины image 31291.

Сказанное можно иллюстрировать следующей таблицей:

image 31307

Принято бесконечно малую image 31291по отношению к а называть бесконечно малой высшего порядка, а а по отношению к image 31291— бесконечно малой низшего порядка.

Что касается третьего отношения, то из него следует, что бесконечно малые 2а и а стремятся к нулю с одинаковой скоростью, так как при их изменении отношение image 31313остается постоянным. Такие бесконечно малые имеют, как говорят, одинаковый порядок малости.

Таким образом, частное от деления двух бесконечно малых величин позволяет сравнивать их между собой. Это сравнение особенно полезно в приближенных вычислениях, где отбрасывание бесконечно малых высшего порядка приводит к значительному упрощению вычислений.

Читайте также:  Чему меня научила книга маленький принц

II. Возьмем функцию image 31317; ее приращение

image 31319

Множитель при image 31320есть производная данной функции, а потому последнее равенство можно переписать так:

image 31322

Сравним изменение величины обоих слагаемых правой части равенства (I) с уменьшением image 31320. Положив, например,

х = 2 и, следовательно, у’ = 4, составим следующую таблицу значений этих слагаемых:

image 31326

Как видно из таблицы, слагаемые у’ image 31320и image 31332уменьшаются с уменьшением image 31320, причем первое пропорционально image 31320, второе же значительно быстрее.

Покажем, что то же самое справедливо для любой дифференцируемой функции f(x).

Пусть дана функция у = f(х). Ее производная

image 31333

Согласно определению предела переменной имеем:

где а—бесконечно малая величина при image 31337. Отсюда

image 31335

И здесь при уменьшении image 31320первое слагаемое у’ image 31320уменьшается пропорционально image 31320второе же слагаемое а image 31320уменьшается быстрее, так как отношение image 31340—бесконечно

малая величина при image 31342, т. е. по отношению к у’ image 31320величина а image 31320— бесконечно малая высшего порядка. Поэтому выражение у’ image 31320называют главной частью приращения функции у = f(х).

Определение:

Главная часть у’ image 31320приращения функции у = f(х) называется дифференциалом функции.

Дифференциал функции у = f(х) принято обозначать символом . Таким образом

image 31350

Дифференциал аргумента принимают равным приращению аргумента image 31320т. е.

image 31351

Поэтому равенство (3) можно переписать в следующем виде:

image 31352

т. е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента. Из формулы (4) следует:

image 31353

Равенство (5) показывает, что производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. На этом основании производную функции часто выражают в виде image 31356и читают: «дэ игрек по дэ икс».

III. Заменив в равенстве (2) image 31357символом , напишем:

image 31359

Как было показано выше, image 31364— бесконечно малая высшего порядка по отношению к image 31367а потому, отбросив в равенстве (6) слагаемое image 31369, получим:

image 31370

В практических вопросах часто используют формулу (7), т. е. берут дифференциал функции вместо ее приращения, делая при этом незначительную ошибку и тем меньшую, чем меньше image 31320.

Примечание:

В случае линейной функции image 31375. В самом деле, для функции image 31377приращение будет:

image 31378

Множитель image 31380есть производная линейной функции; поэтому правая часть последнего равенства выражает дифференциал данной функции, т. е.

image 31382

Итак, в случае линейной функции

image 31383

Геометрическое изображение дифференциала

Возьмем функцию у = f(x), график которой изображен на рис. 104.

image 31389

Пусть абсцисса точки М

image 31387

image 31390

Дадим аргументу х приращение image 31393и восставим в точке Р1 перпендикуляр Р1М1 к оси Ох, а из точки М проведем image 31396. Тогда, как известно,

image 31398

Проведем в точке М касательную к кривой; полученный при этом отрезок QN, равный приращению ординаты точки М, движущейся по касательной, называется приращением ординаты касательной. Из прямоугольного треугольника МQN имеем:

image 31407

image 31409

а, согласно геометрическому смыслу производной,

image 31410

image 31412

image 31416

image 31431

Таким образом, если в точке М кривой у = f(х) провести касательную, то дифференциал функции у = f(х) в этой

image 31419

точке изобразится приращением ординаты касательной, соответствующим приращению ее абсциссы на dx.

Дифференциал функции в данной точке может быть как меньше приращения ее (рис. 104), так и больше (рис. 105).

Дифференциал второго порядка

Дифференциал dy функции у = f(x), называемый первым дифференциалом или дифференциалом первого порядка, представляет собой также функцию x, а потому и от него можно найти дифференциал, который называют вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка. В этом случае пишут d(dy) или короче image 31453и читают: «дэ два игрек».

Найдем выражение дифференциала второго порядка от функции через ее производную. Для этого продифференцируем по х равенство.

image 31458

считая dx постоянным множителем (так как dx не зависит от х):

image 31461

Но согласно формуле (4)

image 31462

image 31464

т. е. дифференциал второго порядка равен произведению второй производной функции на квадрат дифференциала аргумента.

Из равенства (1) следует

image 31474

Это дает основание для выражения второй производной

функции в виде отношения image 31475которое читают так: «дэ дна игрек по дэ икс квадрат».

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Рассмотрим несколько примеров использования дифференциала в приближенных вычислениях.

а) Определение приращения функции.

Пример:

Найти приближенно приращение функции

image 31478

при х = 2 и image 31320= 0,001.

Решение:

Так как приращение аргумента — величина малая, то согласно формуле (7) можем приращение функции заменить ее дифференциалом.

Дифференциал же данной функции

image 31482

Заменив в равенстве (1) х и их значениями, получим:

image 31485

image 31487

Посмотрим, какую ошибку мы делаем, беря дифференциал вместо приращения. Для этого найдем точное значение приращения функции:

image 31488

Сравнивая полученное точное значение image 31493с приближенным, видим, что допущенная ошибка равна 0,000002. Выражая ее в процентах, найдем:

image 31495

Ошибка оказалась очень малой.

Пример:

Шар радиуса R = 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. Насколько увеличился при этом объем шара?

Решение:

Объем шара определяется по формуле

Каждому значению R по закону, заданному этой формулой, отвечает одно определенное значение v, т. е. v есть функция от R. Следовательно, наша задача сводится к определению приращения функции v при заданном приращении аргумента R. Так как приращение аргумента мало

image 31523

то мы можем приращение функции заменить ее дифференциалом.

Находим дифференциал функции v.

image 31524

image 31527

image 31528

б) Нахождение числового значения функции. Пусть требуется найти приближенное значение функции

image 31559

при x1 = 2,001, т. е. найти величину f(2,001). Представим х1 в виде суммы

image 31557

где 0,001 будем рассматривать как приращение аргумента. Из формулы для приращения функций

image 31562

image 31563

Полагая image 31320малой величиной, можем image 31493заменить величиной ; тогда последнее равенство перепишется в виде

image 31567

Применив равенство (2) к данному примеру, можем написать:

image 31570

image 31572

image 31574

Равенство (2) может служить формулой для приближенного вычисления значения функции.

в) Вычисление по приближенным формулам. Пользуясь формулой (2), выведем приближенные формулы для вычисления некоторых выражений. 1) Возьмем функцию

image 31577

и положим, что угол х, равный нулю, получает весьма малое приращение а. Применим формулу (2), полагая в ней х = 0 и dx = а. Получим:

image 31580

image 31581

image 31582

image 31584

image 31585

Отсюда следует, что синус очень малого угла приближенно равен самому углу; при этом нужно помнить, что угол должен быть выражен в радианной мере. Так, например, sin 0,003 image 315870,003. В самом деле, выразив данный угол в градусной мере, найдем:

image 31589

image 31591

2) Возьмем функцию image 31595и положим, что х, равный 1, получает весьма малое по сравнению с единицей приращение image 31597. Тогда согласно формуле (2) имеем:

image 31598

image 31599

image 31603

image 31604

image 31605

Точно так же можно вывести равенство

image 31606

По формулам (3) и (4) можно быстро найти приближенную степень числа, близкого к единице; например:

image 31607

3) Выведем формулу для приближенного вычисления выражения image 31608где а имеет малое значение по сравнению с единицей. Для этого представим image 31608в виде степени

image 31616

image 31615

image 31617

Аналогично выводится формула

image 31618

По формулам (5) и (6) можно легко найти приближенное значение корня из числа, близкого к единице; например:

image 31619

Кривизна кривой

Пусть дана кривая, определяемая уравнением у = f(х) (рис. 106).

image 31622

Возьмем на ней две точки А и В и проведем в них касательные к кривой. При переходе от точки А к точке В касательная меняет угол наклона к положительному направлению оси абсцисс на некоторую величину. Если обозначим угол наклона касательной в точке А к оси Ох через а, то угол наклона касательной в точке В к той же оси, получив приращение image 31626, будет равен а + image 31626, а угол между самими касательными, как видно из рисежа, будет image 31626. Величину image 31626можно рассматривать как угол отклонения касательной от первоначального ее положения.

Читайте также:  Что делать чтобы отошла пробка при беременности быстрее

Разделив image 31626на длину дуги АВ = image 31631, получим среднюю величину угла отклонения, приходящегося на единицу длины дуги. Отношение image 31633называется средней кривизной кривой на ее участке АВ.

Средняя кривизна кривой на разных ее участках может быть различной.

Допустим теперь, что точка В, двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке А и image 31631уменьшается, стремясь к нулю; тогда предел отношения image 31633будет определять кривизну кривой в точке А. Обозначив кривизну кривой в точке буквой К, будем иметь:

image 31637

Определение:

Кривизной кривой в данной ее точке А называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги АВ при неограниченном приближении точки В к А.

Согласно определению производной

image 31641

image 31642

Преобразуем правую часть этого равенства, выразив . и ds через производные данной функции у =f(x).

Согласно геометрическому смыслу производной имеем

image 31645

где а — угол наклона касательной к кривой у =f(х) в точке А к положительному направлению оси абсцисс (рис. 106); отсюда

image 31647

В этом равенстве аrctg у’ — функция от функции, так как аrctg у’ зависит от у’, a у’ зависит от х. Продифференцируем последнее равенство по аргументу х; получим:

image 31652

image 31654

Найдем выражение ds через производную функции у =f(x). Для этого возьмем снова тот же участок АВ кривой (рис. 107).

image 31658

Будем рассматривать длину АВ как приращение дуги image 31660, соответствующее приращениям PQ = image 31320и RB = image 31493. Если image 31320достаточно мало, то отрезок дуги АВ можно считать прямолинейным; в этом случае, применяя теорему Пифагора, получим:

image 31671

image 31676

Разделив обе части равенства наimage 31678, найдем:

image 31677

image 31682

Положим, что image 31684тогда

image 31688

image 31690

image 31692

поэтому равенство (3) примет вид

image 31694

image 31696

Подставив значение da и ds в выражение (1), получим:

image 31699

Формула (5) позволяет найти кривизну кривой, определяемой уравнением у = f(x), в любой ее точке.

Кривизна окружности

Проведем касательные в двух точках А и В окружности (рис. 108).

image 31703

Обозначив дугу АВ через image 31631, найдем среднюю кривизну

на этом участке; она выразится дробью image 31710. Проведя радиусы в точки касания, получим:

image 31713

так как углы АО1В и image 31626образованы взаимно перпендикулярными прямыми. Но, как известно, угол в радиаyной мере измеряется отношением длины дуги к радиусу; следовательно,

image 31723

image 31725

Ясно, что такой же вывод мы получим, взяв другой какой-либо участок окружности. Следовательно,

image 31728

для любой точки окружности, т. е. кривизна окружности постоянна во всех ее точках и равна обратной величине ее радиуса.

Радиус кривизны кривой

При изучении кривизны кривой подбирают такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в той или иной ее точке. Центр этой окружнoсти называется центром кривизны кривой в соответствующей точке, радиус—радиусом кривизны кривой в этой точке, а сама окружность— окружностью кривизны (рис. 109).

image 31737

Определение:

Окружностью кривизны в точке М кривой называется окружность, проходящая через точку М и имеющая с кривой одинаковую кривизну и общую касательную.

Заметим, что центр окружности кривизны всегда располагается со стороны вогнутости кривой.

Кривизна окружности, как мы знаем,

image 31742

image 31745

Следовательно, и радиус кривизны кривой в точке ее определяется тем же равенством.

image 31749

Применяя эту формулу к прямой линии, заданной, например уравнением image 31752получим:

image 31755

так как image 31756

Это значит, что прямую линию можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса.

Пример:

Найти радиус кривизны кривой image 31758в точке, абсцисса которой равна image 31761

Решение:

Найдем сначала первую и вторую производные функции image 31758для точки с абсциссой image 31766

image 31767

Подставив значения у’ и у» в формулу (1), получим:

image 31770

Как найти дифференциал — подробная инструкция

Бесконечно малые величины

Бесконечно малые величины image 68813В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через h.

Определение:

Бесконечно малой величиной вблизи h = a называется функция, зависящая от h и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к а.

Например, image 68815является бесконечно малой величиной при условии, что h стремится к 3; sinh и tgh являются бесконечно малыми при условии, что h стремится к нулю.

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь S прямоугольника со сторонами х и h является бесконечно малой при любых х, так как

image 68822

Пример:

Объема прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и 2h, является бесконечно малым, так как

image 68824

Пример:

Объем v прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны h, 2h и 5h, является бесконечно малым, так как

image 68829

Пример:

По закону Ома v = Ri, где v — напряжение, R — сопротивление и i — ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как

image 68830

Пусть дана бесконечно малая величина а (h), т. е.

image 68834

Рассмотрим предел отношения

image 68836 image 68838

Если этот предел существует и равен нулю, то бесконечно малая величина a (h) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем h.

Если предел равен конечному числу image 68841 то бесконечно малые a (h) и h называются величинами одного порядка; если l =1, то a(h) и h называются эквивалентными бесконечно малыми.

image 68813Этот предел может зависеть от других переменных, отличных от h.

Пример:

Пусть image 68842Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем h, так как

image 68844

Пример:

image 68846

Пример:

image 68853

Пример:

image 68855

В заключение параграфа рассмотрим функцию y = f(x). Пусть приращение независимого переменного равно А, тогда приращение функции равно

image 68858

Пример:

Пусть дана функция image 68862Ее приращение равно

image 68866

image 68874

Если же x = 0 и по-прежнему h =1, то

image 68870

Здесь h сохраняет значение 1, но, поскольку х меняется, изменяется и image 68860.

image 68880

Если же x = 2, а h = 0,5, то

image 68886

Здесь х сохраняет значение 2, но h меняется, поэтому меняется и image 68860.

Если f(х)—функция непрерывная, то, по определению, ее приращение image 68860стремится к нулю при условии, что приращение h независимого переменного х стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.

Дифференциал

Пусть дана непрерывная функция у = f(х), имеющая производную. Тогда, по определению производной,

image 68890

image 68891

image 68893

image 68896

image 68897

image 68899

Очевидно, что первый член

image 68904

Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равно f'(х)h ; это выражение называется дифференциалом функции.

Определение. Дифференциал есть та часть при-ращения функции image 68860, которая линейна относительно h . Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного.

Дифференциал функции обозначают или dy, или df(x), так что

image 68911

Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.

Определение:

Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.

Дифференциал независимого переменного обозначается dx, так что имеем

image 68913

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Пример:

Найдем дифференциал функции у = sin х. Так как (sin х)’ = cos х, то dy = dsin х = cos х h = cos xdx.

Пример:

image 68918

Подставляя сюда вместо х его значение 2, а вместо dx его значение 0,1, получим

image 68920

Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что

image 68922

Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )’ и отношением дифференциалов.

Таблица дифференциал

image 68924

Применение к приближенным вычислениям

Перепишем формулу (4) § 2 в следующем виде:

image 68930

и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях х и h.

Пример:

Пусть image 68933Положим x = 2 и h = 0,01. Применяя формулу куба суммы, получаем

image 68938

С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, чтоimage 68942получим

image 68946

Сравнивая формулы (*) и (**), видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле (**) равен двум последним членам в формуле (*), т. е.

Читайте также:  Чем смыть краску с одежды в домашних условиях

image 68959

Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях х и h:

image 68961

Если бы мы захотели вычислить image 68963не точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член а (x, h)h = 0,000601 никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.

image 68972

(знак image 68975обозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины h, так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.

Приведем примеры применения формулы (2).

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем image 68983тогда image 68987Применяя формулу (2), получаем

image 68993

Если положить image 68996, то полученному результату можно придать следующий вид:

image 69000

Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой. Например, зная, что image 69006вычисляем image 69011Здесь z = 10, h = 3, поэтому получаем

image 69014

Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так как image 69017то применяя формулу (2), получаем

image 69019

Зная, что tg 0 = 0 и cos 0=1, и полагая в предыдущей формуле x = 0, найдем

image 69020

Напоминаем, что здесь h есть радианная мера угла. Например, вычислим tg3°. Переведем сначала градусную меру угла в радианную:

image 69024

image 69025

Дифференциал площади криволинейной трапеции

Определение:

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.

image 69027

Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции.

Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.

image 69029

Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.

Пусть дана криволинейная трапеция АВСD, ограниченная осью Ох, двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением у=f(х) (рис. 73).

Будем считать, что прямая АВ неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки А есть постоянная величина. «Прямую же СD будем двигать, т. е. абсцисса точки D будет переменной. Обозначим ее через х.

Ясно, что площадь криволинейной трапеции АВСD будет изменяться в зависимости от величины х, значит, площадь есть функция х. Обозначим ее F(х). Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал.

Дадим х приращение h = , тогда площадь F(x) получит приращение image 69077( х ) (это приращение на рис. 73 заштриховано).

При изменении независимого переменного от величины х до х + h (от точки D) до точки К) функция f(х), т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения М и наименьшего значения т. На рис. 73 QR = М и NР= т.

image 69101

Обозначим разность между приращением image 69077и площадью Т2 через со, тогда

image 69107

image 69118

Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении h к нулю.

Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях x,

image 69125

и, во-вторых, если image 68819, то точка К приближается к точке D. Точка N, абсциссу которой обозначим через image 69130, заключена между D и К, поэтому при image 68819точка N также приближается к точке D, следовательно,

image 69138

Функция f(х) предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим

image 69140

а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)

image 69142

где а—бесконечно малая относительно h. Также можно заключить, что

image 69143

где image 68265—бесконечно малая относительно h.

Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:

image 69148

Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:

image 69151

Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]

image 69153

Так как image 69109удовлетворяет неравенству (2), то

image 69160

а в силу равенства (7)

image 69162

Таким образом, установлено, что и mh и image 69109являются бесконечно малыми. Кроме того, член со есть бесконечно малая высшего порядка относительно h.

Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде

image 69169

В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно h первый из них линеен относительно h, а два других имеют высший порядок малости.

image 69172

Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.

Пример:

Найдем дифференциал площади F криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением image 68917, прямой x =1 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.

Применяя только что полученный результат, будем иметь

image 69176

Пример:

Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением у = sin x, прямой х = 2 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.

Находим дифференциал этой площади: dF = sin x dx, а следовательно и производную:

image 69186

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

image 69195

где image 69199(x) не зависит от h, и

image 69198

image 69208

image 69211

т. е. image 69199(x)—производная заданной функции.

Пример:

Найти производную от функции f(x), определенной геометрически как объем, ограниченный:

1) поверхностью Р, полученной от вращения вокруг оси Ох дуги ОА, принадлежащей параболе image 68917;

2) плоскостью П1, перпендикулярной оси Ох и отстоящей от начала координат на расстояние х (рис. 74).

image 69222

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием К1, образующую, параллельную оси Ох, и высоту h, второй имеет основанием К2 и образующую, также параллельную оси Ох (рис. 77).

image 69240

image 69247

Но oбъемы W1 и W2 легко подсчитать:

image 69249

Разность объемов W1 и W2 (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

image 69252

Приращение image 69226(х) отличается от W1 на некоторую часть разности W2W1 поэтому

image 69255

гдеimage 69886— некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как

image 69882

то член image 69890—стоящий в правой части равенства (**), является бесконечно малой высшего порядка малости относительно h. Поэтому равенство (**) является частным случаем равенства (*). Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство (*), т. е. производная от функции f(х) равна image 70409.

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция f(х) была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример:

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности R, радиус внутренней поверхности r, высота H. Найдем объем V материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

image 70411

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен image 70416, а объем внутреннего равенimage 70420, то объем цилиндрического слоя равен

image 70422

image 70424

Если стенка трубы тонкая, то r и R мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через h (h = R — r). Тогда формула (*) примет вид

image 70427

image 70429

Второй член, стоящий в правой части равенства (*), второго порядка относительно h. Поэтому при image 68819член image 70436становится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:

image 70441

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

image 70444

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

lfirmal 3

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Adblock
detector